2022_北京卷 (2022)
18．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 9.50 m 以上 （含 9.50 m ）的同学将获得优秀奖。为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位： m ）：
甲： $9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,935,9.30,9.25$ ；
乙： $9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23$ ；
丙： $9.85,9.65,9.20,9.16$ ．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
②设 $X$ 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 $X$ 的数学期望 $E(X)$ ；
（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】（1） 0.4
②$\frac{7}{5}$
（3）丙
【解析】
【分析】①由频率估计概率即可
（2）求解得 $X$ 的分布列，即可计算出 $X$ 的数学期望。
（3）计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大。
## 【小问 1 详解】
由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为 0.4 ，乙获得优秀的概率为 0.5 ，丙获得优秀的概率为 0.5 ，
故答案为 0.4
【小问 2 详解】
设甲获得优秀为事件 $A_{1}$ ，乙获得优秀为事件 $A_{2}$ ，丙获得优秀为事件 $A_{3}$
$$ \begin{aligned} P(X=0)= & P\left(\overline{A_{1}} \overline{A_{2}} \overline{A_{3}}\right)=0.6 \times 0.5 \times 0.5=\frac{3}{20}, \\ & P(X=1)=P\left(A_{1} \overline{A_{2}} \overline{A_{3}}\right)+P\left(\overline{A_{1}} A_{2} \overline{A_{3}}\right)+P\left(\overline{A_{1}} \overline{A_{2}} A_{3}\right) \\ = & 0.4 \times 0.5 \times 0.5+0.6 \times 0.5 \times 0.5+0.6 \times 0.5 \times 0.5=\frac{8}{20}, \\ & P(X=2)=P\left(A_{1} A_{2} \overline{A_{3}}\right)+P\left(A_{1} \overline{A_{2}} A_{3}\right)+P\left(\overline{A_{1}} A_{2} A_{3}\right) \\ = & 0.4 \times 0.5 \times 0.5+0.4 \times 0.5 \times 0.5+0.6 \times 0.5 \times 0.5=\frac{7}{20}, \\ P(X=3)= & P\left(A_{1} A_{2} A_{3}\right)=0.4 \times 0.5 \times 0.5=\frac{2}{20} . \end{aligned} $$
$\therefore X$ 的分布列为
| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| $P$ | $\frac{3}{20}$ | $\frac{8}{20}$ | $\frac{7}{20}$ | $\frac{2}{20}$ |
$\therefore E(X)=0 \times \frac{3}{20}+1 \times \frac{8}{20}+2 \times \frac{7}{20}+3 \times \frac{2}{20}=\frac{7}{5}$
## 【小问 3 详解】
丙夺冠概率估计值最大．
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩．比赛一次，丙获得 9.85 的概率为 $\frac{1}{4}$ ，甲获得 9.80 的概率为 $\frac{1}{10}$ ，乙获得 9.78 的概率为 $\frac{1}{6}$ ，并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利．