离散型随机变量的均值与方差　·　历年高考数学真题与解析

14．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 $1,3,5,7$ ，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）。则四轮比赛后，甲的总得分不小于 2 的概率为 $\_\_\_\_$。

18．已知某险种的保费为 0.4 万元，前 3 次出险每次赔付 0.8 万元，第 4 次赔付 0.6 万元

在总体中抽样 100 单，以频率估计概率：
（1）求随机抽取一单，赔偿不少于 2 次的概率；
（2）（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为 $X$ ，估计 $X$ 的数学期望；

（ii）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降 $4 \%$ ，已赔偿过的增加 $20 \%$ 。估计保单下一保险期毛利润的数学期望。

18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3 次，若 3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为 0 分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮 3 次，每次投中得 5 分，未投中得 0 分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 $p$ ，乙每次投中的概率为 $q$ ，各次投中与否相互独立．
（1）若 $p=0.4, q=0.5$ ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于 5 分的概率．
（2）假设 $0（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为 15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

18．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 9.50 m 以上 （含 9.50 m ）的同学将获得优秀奖。为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位： m ）：

甲： $9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,935,9.30,9.25$ ；
乙： $9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23$ ；
丙： $9.85,9.65,9.20,9.16$ ．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
②设 $X$ 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 $X$ 的数学期望 $E(X)$ ；
（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

15.

袋中有 4 个红球 $m$ 个黄球，$n$ 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为 $\xi$ ，若取出的两个球都是红球的概率为 $\frac{1}{6}$ ，一红一黄的概率为 $\frac{1}{3}$ ，则 $m-n=$ $\_\_\_\_$ ，$E(\xi)=$ $\_\_\_\_$ ．

18.

某学校组织＂一带一路＂知识竞赛，有 $A, B$ 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．$A$ 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分：$B$ 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，己知小明能正确回答 $A$ 类问题的概率为 0.8 ，能正确回答 $B$ 类问题的概率为 0.6 ，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
（1）若小明先回答 $A$ 类问题，记 $X$ 为小明的累计得分，求 $X$ 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．

18.

为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取＂$k$ 合 1 检测法＂，即将 $k$ 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有 100 人，已知其中 2人感染病毒。
（1）（1）若采用＂ 10 合 1 检测法＂，且两名患者在同一组，求总检测次数；
（2）已知 10 人分成一组，分 10 组，两名感染患者在同一组的概率为 $\frac{1}{11}$ ，定义随机变量 $X$ 为总检测次数，求检测次数 $X$ 的分布列和数学期望 $E(X)$ ；
（2）若采用＂ 5 合 1 检测法＂，检测次数 $Y$ 的期望为 $E(Y)$ ，试比较 $E(X)$ 和 $E(Y)$ 的大小（直接写出结果）．

17．某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为 $A, B, C, D$ 四个等级．加工业务约定：对于 $A$ 级品、 $B$ 级品、 $C$ 级品，厂家每件分别收取加工费 90 元， 50 元， 20 元；对于 D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费 50 元。该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务。甲分厂加工成本费为 25 元／件，乙分厂加工成本费为 20 元／件。厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：

甲分厂产品等级的频数分布表

乙分厂产品等级的频数分布表

（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？

25．甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球。现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 $n$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_{n}$ ，恰有 2 个黑球的概率为 $p_{n}$ ，恰有 1 个黑球的概

率为 $q_{n}$ ．
（1）求 $p_{1} \cdot q_{1}$ 和 $p_{2} \cdot q_{2}$ ；
（2）求 $2 p_{n}+q_{n}$ 与 $2 p_{n-1}+q_{n-1}$ 的递推关系式和 $X_{n}$ 的数学期望 $E\left(X_{n}\right)$（用 $n$ 表示）。

## 答案解析

7．设 $0

则当 $a$ 在 $(0,1)$ 内增大时

20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为 $\mathrm{p}(0<\mathrm{p}<1)$ ，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$ ，求 $f$ （p）的最大值点 $\mathrm{p}_{0}$ 。
（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 $\mathrm{p}_{0}$ 作为 p 的值．已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用。
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求 $E X$ ；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

7．（4 分）设 $0

则当 $p$ 在 $(0,1)$ 内增大时，（ ）

8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独立．设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数， $\mathrm{DX}=2.4, \mathrm{P}(\mathrm{x}=$ 4）$

17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x和 y 的数据，并制成如图，其中＂＊＂表示服药者，＂＋＂表示未服药者．
（1）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率；
（2）从图中 A，B，C，D 四人中随机选出两人，记 $\xi$ 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数，求 $\xi$ 的分布列和数学期望 $E(\xi)$ ；
（3）试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小。（只需写出结论）

18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：${ }^{\circ} \mathrm{C}$ ）有关。如果最高气温不低于 25 ，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间［20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20 ，需求量为 200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表 ：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 $Y$（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量 n （单位：瓶）为多少时， Y 的数学期望达到最大值？

18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}$ 和 4名女志愿者 $B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}$ ，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示。
（ I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 $\mathrm{A}_{1}$ 但不包含 $\mathrm{B}_{1}$ 的概率。
（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX

26．已知一个口袋有 $m$ 个白球，$n$ 个黑球（ $m, n \in N^{*}, n \geqslant 2$ ），这些球除颜色外全部相同。现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为 1,2 ， $3, \ldots, m+n$ 的抽屉内，其中第 $k$ 次取出的球放入编号为 $k$ 的抽屉（ $k=1,2$ ， $3, \ldots, m+n)$ ．

（1）试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p ；
（2）随机变量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数， E （ X ）是 X 的数学期望，证明 $E(X)<\frac{n}{(\pi+n)(n-1)}$ ．

# 2017年江苏省高考数学试卷

16．（13分）（ 2016 •天津）某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 $1,2,3$ 的人数分别为 $3,3,4$ ，现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会．
（1）设A为事件＂选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4 ＂，求事件A发生的概率；
②设 $X$ 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望 －

19．（12分）（2016－山东）甲、乙两人组成＂星队＂参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则＂星队＂得3分；如果只有一个人猜对，则＂星队＂得 1 分；如果两人都没猜对，则＂星队＂得 0 分。已知甲每轮猜对的概率是 $\frac{3}{4}$ ，乙每轮猜对的概率是 $\frac{2}{3}$ ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。各轮结果亦互不影响。假设＂星队＂参加两轮活动，求：
（I）＂星队＂至少猜对 3 个成语的概率；
（II）＂星队＂两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX。

16．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 ．个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
（I）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（II）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X ，求 X 的分布列和数学期望。

17．某市 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两所中学的学生组队参加辩论赛， A 中学推荐 3 名男生，2名女生， B 中学推荐了 3 名男生， 4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人，女生中随机抽取 3 人组成代表队
（1）求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率．
（2）某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 $X$ 表示参赛的男生人数，求 $X$ 得分布列和数学期望。

（17）（本小题满分 12 分）
已知 2 件次品和 3 件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束．

（I）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（II）已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用（单位：元），求 X 的分布列和均值（数学期望）．

19．（本小题满分 12 分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 $\mathrm{T}, \mathrm{T}$ 只与道路畅通状况有关，对其容量为 100 的样本进行统计，结果如下：

（I）求 T 的分布列与数学期望 ET；
（II）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率．

20．（本小题满分 12 分）
某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 $A, B$ 两种奶制品．生产 1 吨 $A$ 产品需鲜牛奶 2 吨，使用设备 1 小时，获利 1000 元；生产 1 吨 $B$ 产品需鲜牛奶 1.5 吨，使用设备 1.5 小时，获利 1200 元．要求每天 $B$ 产品的产量不超过 $A$ 产品产量的 2 倍，设备每天生产 $A, B$ 两种产品时间之和不超过 12 小时。假定每天可获取的鲜牛奶数量 $W$（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 $Z$（单位：元）是一个随机变量。
（I）求 $Z$ 的分布列和均值；

（II）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率．
－【答案】（I）$Z$ 的分布列为：

$E(Z)=9708$ ；（ II ） 0.973 ．

16．（本小题满分 13 分）
某大学志愿者协会有 6 名男同学， 4 名女同学．在这 10 名同学中， 3 名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院。现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学 ，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）。
（1）求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；
（2）设 $X$ 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．

17．某企业甲，乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{5}$ ，现安排甲组研发新产品 $A$ ，乙组研发新产品 $B$ ．设甲，乙两组的研发是相互独立的．

（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品 $A$ 研发成功，预计企业可获得 120 万元，若新产品 $B$ 研发成功，预计企业可获得利润 100 万元，求该企业可获得利润的分布列和数学期望。

18．（本小题满分 13 分，（I）小问 5 分，（II）小问 8 分）
一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3 ，从盒中任取 3 张卡片．
（I）求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率；
（II）$X$ 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 $X$ 的分布列与数学期望．
（注：若三个数 $a, b, c$ 满足 $a \leq b \leq c$ ，则称 $b$ 为这三个数的中位数）．

20．（ 12 分）设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0 ．
$6 , 0.5 , 0.5 , 0.4$ ，各人是否需使用设备相互独立．
（I）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；
（II）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望。

20．（本小题满分 12 分）

计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量 $X$（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在 40 以上．其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年。将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
（1）求未来 4 年中，至多 1 年的年入流量超过 120 的概率；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 $X$ 限制，并有如下关系：

若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

21．（满分 14 分）随机将 $1,2, \cdots, 2 n\left(n \in N^{*}, n \geq 2\right)$ 这 2 n 个连续正整数分成 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两组，每组 n 个数， A 组最小数为 $a_{1}$ ，最大数为 $a_{2}$ ；B 组最小数为 $b_{1}$ ，最大数为 $b_{2}$ ，记 $\xi=a_{2}-a_{1}, \eta=b_{2}-b_{1}$
（1）当 $n=3$ 时，求 $\xi$ 的分布列和数学期望；
（2）令 C 表示事件 $\xi$ 与 $\eta$ 的取值恰好相等，求事件 C 发生的概率 $p(c)$ ；
（3）对（2）中的事件 $\mathrm{C}, ~ \bar{c}$ 表示 C 的对立事件，判断 $p(c)$ 和 $p(\bar{c})$ 的大小关系，并说明理由。

25．（10分）（2014•江苏）盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球， 3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同。

（1）从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率 P ；
（2）从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \mathrm{x}_{3}$ ，随机变量 X 表示 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \mathrm{x}_{3}$ 中的最大数，求 X 的概率分布和数学期望 E （ X ）。

16．（13 分）如图是预测到的某地 5 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天

（I）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（II）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望
（III）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

16．（本小题满分 13 分）
某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 $\frac{2}{3}$，中奖可以获得 2 分；方案乙的中奖率为 $\frac{2}{5}$，中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分。每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品。
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 $X$，求 $X \leq 3$ 的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

18．（本小题满分 12 分）
某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 Y （单位： kg）与它的＂相近＂作物株数 X 之间的关系如下表所示：

这里，两株作物＂相近＂是指它们之间的直线距离不超过 1 米。

图4

（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好＂相近＂的概率；

（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。

（18）（本小题满分 13 分，（I）小问 5 分，（II）小问 8 分）
某商场举行的＂三色球＂购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球，再从装有 1 个篮球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球，根据摸出 4 个球中红球与篮球的个数，设一、二、三等奖如下：

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级。（I）求一次摸球恰好摸到 1 个红球的概率；
（II）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 $X$ 的分布列与期望 $E(X)$ 。

18．（本小题满分 12 分）
某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量 $Y$（单位： kg ）与它的＂相近＂作物株数 $X$ 之间的关系如下表所示：

这里，两株作物＂相近＂是指它们之间的直线距离不超过 1 米。
（I）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；

（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为 48 kg 的概率．

19．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 方损 300 元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进

了 130 t 该农产品．以 x （单位： $\mathrm{t}, ~ 100 \leq \mathrm{x} \leq 150$ ）表示下一个销售季度内的市场需求量， T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

（I）将 T 表示为 x 的函数；
（II）根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率；
（III）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若 $\mathrm{x} \in$ ［100，110））则取 $\mathrm{x}=105$ ，且 $\mathrm{x}=105$ 的概率等于需求量落入［100，110）的频率，求 T 的数学期望．

19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n ．如果 $\mathrm{n}=3$ ，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 $\mathrm{n}=4$ ，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为 $50 \%$ ，即取出的产品是优质品的概率都为 $\frac{1}{2}$ ，且各件产品是否为优质品相互独立．
（I）求这批产品通过检验的概率；
（II）已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。

19、（本小题满分 12 分）

甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是 $\frac{1}{2}$外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 $\frac{2}{3}$ 。假设各局比赛结果相互独立。
（I）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率；
（II）若比赛结果为3： 0 或3： 1 ，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得 1 分。求乙队得分 $X$ 的分布列和数学期望。

19．（本小题满分 12 分）
在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手（1 至 5 号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手。

各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名选手，其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选 2 名。观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 5 号中随机选 3名歌手。
（I）求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；
（II） X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求 X 的分布列和数学期望．

20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（I）求第4局甲当裁判的概率；
（II）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望。

4．（5分）（ 2013 •广东）已知离散型随机变量X的分布列为

则 X 的数学期望 $\mathrm{E}(\mathrm{X})=$
A $\frac{3}{2}$
B 2
C $\frac{5}{2}$
D 3

16．（本小题满分 13 分）
受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆，统计书数据如下：

将频率视为概率，解答下列问题：
（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； （II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为 $\mathrm{X}_{1}$ ，生产一辆乙品牌轿车的利润为 $\mathrm{X}_{2}$ ，分别求 $\mathrm{X}_{1}, \mathrm{X}_{2}$ 的分布列 ；
（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。

18．（本题满分 12 分）
如图，从 $\mathrm{A}_{1}(1,0,0), \mathrm{A}_{2}(2,0,0), \mathrm{B}_{1}(0,1,0), \mathrm{B}_{2}(0,2,0), \mathrm{C}_{1}(0,0,1), \mathrm{C}_{2}(0,0,2)$ 这 6个点中随机选取 3 个点，将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一个＂立体＂，记该＂立体＂的体积为随机变量 V （如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内，此时＂立体＂的体积 $\mathrm{V}=0$ ）。

（1）求 $V=0$ 的概率；（2）求 $V$ 的分布列及数学期望 $E V$ 。

17．（本小题满分 13 分）
某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：
［40，50），［50，60），［60，70），［70，80），［80，90），［90，100］，
（1）求图中 x 的值；
（2）从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人， 2 人中成绩在 90 分以上（含 90 分）的人数记为 $\xi$ ，求 $\xi$ 的数学期望。

18．（12分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
（1）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 $y$（单位：元）关于当天需求量 $n$（单位：枝，$n \in N$ ）的函数解析式．
（2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（i）若花店一天购进 16 枝玫瑰花， X 表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。

（19）（本小题满分 12 分）

先在甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 $\frac{3}{4}$ ，命中得 1 分，没有命中得 0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，每命中一次得 2 分，没有命中得 0 分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
（I）求该射手恰好命中一次得的概率；
（II）求该射手的总得分 $X$ 的分布列及数学期望 $E X$ 。

19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再连续发球 2 次，依次轮换。每次发球，胜方得 1 分，负方得 0 分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得 1 分的概率为 0.6 ，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．

（I）求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 的概率；
（II）$\xi$ 表示开始第 4 次发球时乙的得分，求 $\xi$ 的期望。

20．（本小题满分 12 分）
根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位： mm ）对工期的影响如下表：

历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于 $300,700,900$ 的概率分别为 0.3 ， $0.7,0.9$ ，求：
（I）工期延误天数 $Y$ 的均值与方差；
（II）在降水量X至少是 300 的条件下，工期延误不超过 6 天的概率。

22．（本小题满分 10 分）
设 $\xi$ 为随机变量，从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，$\xi=0$ ；当两条棱平行时，$\xi$ 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，$\xi=1$ ．
（1）求概率 $P(\xi=0)$ ；
（2）求 $\xi$ 的分布列，并求其数学期望 $E(\xi)$ ．

18．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费 2 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算）。有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}$ ；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为

$\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ ；两人租车时间都不会超过四小时．
（1）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
②设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 $\xi$ ，求 $\xi$ 的分布列及数学期望 $E \xi$ ．

15、（2011•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 $\frac{2}{3}$ ，得到乙、丙公司面试的概率均为 P ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记 x 为该毕业生得到面试的公司个数．若 $P(X=0)=\frac{1}{12}$ ，则随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)=$ $\_\_\_\_$ $\frac{5}{3}$ ． ．

考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列。
专题：计算题。
分析：根据该毕业生得到面试的机会为 0 时的概率，做出得到乙、丙公司面试的概率，根据题意得到 x 的可能取值，结合变量对应的事件写出概率和做出期望。

17．（13分）（2011 •北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。

（I）如果 $\mathrm{X}=8$ ，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
（II）如果 $\mathrm{X}=9$ ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数 Y 的分布列和数学期望。
（注：方差 $s^{2}=\frac{1}{n}\left[\left(x_{1}-\bar{x}\right)^{2}+\left(x_{2}-\bar{x}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}-\bar{x}\right)^{2}\right]$ ，其中 $\bar{x}$ 为 $x_{1}, x_{2}$ ，... $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ 的平均数）

## 甲组

## 乙组

18．（12分）（2011•湖南）某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据：

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率。
（I）求当天商品不进货的概率；
（II）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望。

18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5 ，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3．设各车主购买保险相互独立．
（I）求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；
（II）X表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。

19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分

别称为A配方和B配方）做试验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A配方的频数分布表

B配方的频数分布表

（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（II）已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y （单位：元）与其质量指标值 t 的关系式为 $\mathrm{y}= \begin{cases}-2, & \mathrm{t}<94 \\ 2, & 94 \leqslant \mathrm{t}<102 \\ 4, & \mathrm{t} \geqslant 102\end{cases}$

从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）

19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A配方的频数分布表

B配方的频数分布表

（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（II）已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y （单位：元）与其质量指标值 t 的关系式为 $\mathrm{y}= \begin{cases}-2, & t<94 \\ 2, & 94 \leqslant t<102 \\ 4, & t \geqslant 102\end{cases}$

从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X （单位：元），求 X 的分布列及数学期望。（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）

20．（13分）（2011•陕西）如图， A 地到火车站共有两条路径 $\mathrm{L}_{1}$ 和 $\mathrm{L}_{2}$ ，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站。
（I）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（II）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（I）的选择方案，求 X 的分布列和数学期望。

17．（13分）（2010•北京）某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 $\frac{4}{5}$ ，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 $p, q(p>q)$ ，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记 $\xi$ 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

（I）求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率；
（II）求数学期望 $\mathrm{E} \xi$ 。

18．（本小题满分 12 分）
某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机 （即等可能）为你打开一个通道，若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、 3 号通道，则分别需要 2 小时、 3 小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令 $\xi$ 表示走出迷宫所需的时间。
（1）求 $\xi$ 的分布列；
（2）求 $\xi$ 的数学期望。

6．随机变量 $\boldsymbol{\xi}$ 的概率分布率由下图给出：

则随机变量 $\boldsymbol{\xi}$ 的均值是 $\_\_\_\_$ 8.2

18．（本小题满分 12 分）
某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审。假设评审结果为＂支持＂或＂不支持＂的概率都是 $\frac{1}{2}$ 。若某人获得两个＂支持＂，则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个＂支持＂，则给予 5 万元的资助；若未获得＂支持＂，则不予资助，令 $\xi$ 表示该公司的资助总额．
（1）写出 $\xi$ 的分布列；
（2）求数学期望 $E \xi$ ．

19．（2009 浙江理 19）在 $1,2,3, \cdots, 9$ 这 9 个自然数中，任取 3 个数．
（1）求这 ${ }^{3}$ 个数中恰有 1 个是偶数的概率；
（II）设 $\xi$ 为这 3 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为 $1,2,3$ ，则有两组相邻的数 1,2 和 2,3 ，此时 $\xi$ 的值是 2 ）。求随机变量 $\xi$ 的分布列及其数学期望 $E \xi$ 。

19．（12分）（2009•陕西）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，椐统计，随机变量 $\xi$ 的概率分布如下：

（I）求 a 的值和 $\xi$ 的数学期望；
（II）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率。

16．（本小题满分 12 分）
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，且面试是否合格互不影响。求：
（I）至少有 1 人面试合格的概率；
（II）签约人数 $\xi$ 的分布列和数学期望．

18．（12 分）（2008－山东）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队 3 人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，乙队中 3 人答对的概率分别为 $\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}$ ，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用 $\xi$ 表示甲队的总得分．
（I）求随机变量 $\xi$ 的分布列和数学期望；
（II）用 A 表示＂甲、乙两个队总得分之和等于 3 ＂这一事件，用 B 表示＂甲队总得分大于乙队总得分＂这一事件，求 $\mathrm{P}(\mathrm{AB})$ 。

18．（本小题满分 12 分）

甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 $\frac{1}{2}$ 与 $p$ ，且乙投球 2 次均未命中的概率为 $\frac{1}{16}$ ．
（I）求乙投球的命中率 $p$ ；
（II）若甲投球 1 次，乙投球 2 次，两人共命中的次数记为 $\xi$ ，求 $\xi$ 的分布列和数学期望．

18．（本小题满分 12 分）
某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近 100 周的统计结果如下表所示：

（I）根据上面统计结果，求周销售量分别为 2 吨， 3 吨和 4 吨的频率；
（II）已知每吨该商品的销售利润为 2 千元，$\xi$ 表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 $\xi$ 的分布列和数学期望．

18．（本小题满分 12 分）
因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方

案都需分两年实施。若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍、 0.9倍、 0.8 倍的概率分别是 $0.3 , 0.3 , 0.4$ ；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.25 倍、 1 .0 倍的概率分别是 $0.5 , 0.5$ 。若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的 1.2 倍、 1.0 倍、 0.8 倍的概率分别是 $0.2 , 0.3 , 0.5$ ；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.2倍、 1.0 倍的概率分别是 $0.4 , 0.6$ ．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令 $\xi_{i}(i=1,2)$表示方案 $i$ 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数。
（1）写出 $\xi_{1} , \xi_{2}$ 的分布列；
（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？
（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为 10 万元、 15 万元、 20 万元。问实施哪种方案的平均利润更大？

20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物。血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止。

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验。若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验。
（I）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（II）$\xi$ 表示依方案乙所需化验次数，求 $\xi$ 的期望。