离散型随机变量的均值与方差　·　历年高考数学真题与解析

6. 已知随机变量X的分布为 $\left( { \begin{array} { l l l } { 5 } & { 6 } & { 7 } \\ { 0 . 2 } & { 0 . 3 } & { 0 . 5 } \end{array} } \right)$ ,则期望 $E [ X ] =$

6．已知随机变量 X 的分布为 $\left(\begin{array}{ccc}5 & 6 & 7 \\ 0.2 & 0.3 & 0.5\end{array}\right)$ ，则期望 $E[X]=$ $\_\_\_\_$。．

18．已知某险种的保费为 0.4 万元，前 3 次出险每次赔付 0.8 万元，第 4 次赔付 0.6 万元

在总体中抽样 100 单，以频率估计概率：
（1）求随机抽取一单，赔偿不少于 2 次的概率；
（2）（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为 $X$ ，估计 $X$ 的数学期望；

（ii）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降 $4 \%$ ，已赔偿过的增加 $20 \%$ 。估计保单下一保险期毛利润的数学期望。

15．现有 7 张卡片，分别写上数字 1，2，2，3，4，5，6．从这 7 张卡片中随机抽取 3 张，记所抽取卡片上数字的最小值为 $\xi$ ，则 $P(\xi=2)=$ $\_\_\_\_$ ，$E(\xi)=$ $\_\_\_\_$。

18．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 9.50 m 以上 （含 9.50 m ）的同学将获得优秀奖。为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位： m ）：

甲： $9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,935,9.30,9.25$ ；
乙： $9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23$ ；
丙： $9.85,9.65,9.20,9.16$ ．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
②设 $X$ 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 $X$ 的数学期望 $E(X)$ ；
（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

16．一个盒子里有 1 个红 1 个绿 2 个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为 $\xi$ ，则 $P(\xi=0)=-\frac{1}{3}$ — $; E(\xi)=$ $\_\_\_\_$ 1。

25．甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球。现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 $n$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_{n}$ ，恰有 2 个黑球的概率为 $p_{n}$ ，恰有 1 个黑球的概

率为 $q_{n}$ ．
（1）求 $p_{1} \cdot q_{1}$ 和 $p_{2} \cdot q_{2}$ ；
（2）求 $2 p_{n}+q_{n}$ 与 $2 p_{n-1}+q_{n-1}$ 的递推关系式和 $X_{n}$ 的数学期望 $E\left(X_{n}\right)$（用 $n$ 表示）。

答案解析

7．设 $0<a<1$ ，则随机变量 $X$ 的分布列是：

则当 $a$ 在 $(0,1)$ 内增大时

7．（4 分）设 $0<p<1$ ，随机变量 $\xi$ 的分布列是

则当 $p$ 在 $(0,1)$ 内增大时，（ ）

13．（ 5 分）一批产品的二等品率为 0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次．X表示抽到的二等品件数，则 $\mathrm{DX}=$ $\_\_\_\_$ 1.96。

17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x和 y 的数据，并制成如图，其中＂＊＂表示服药者，＂＋＂表示未服药者．
（1）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率；
（2）从图中 A，B，C，D 四人中随机选出两人，记 $\xi$ 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数，求 $\xi$ 的分布列和数学期望 $E(\xi)$ ；
（3）试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小。（只需写出结论）

8．（5 分）已知随机变量 $\xi_{\mathrm{i}}$ 满足 $\mathrm{P}\left(\xi_{\mathrm{i}}=1\right)=\mathrm{p}_{\mathrm{i}}, \mathrm{P}\left(\xi_{\mathrm{i}}=0\right)=1-\mathrm{p}_{\mathrm{i}}$ ， $\mathrm{i}=1$ ，2．若 $0< \mathrm{p}_{1}<\mathrm{p}_{2}<\frac{1}{2}$ ，则（ ）

12．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数 $X$ 的均值是

12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有 $1,2,3,4,5$ 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4 倍作为其奖金（单位：元）。若随机变量 $\xi_{1}$和 $\xi_{2}$ 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 $\mathrm{E} \xi_{1}-\mathrm{E} \xi_{2}=$ $\_\_\_\_$ （元）．

19．（本题满分 12 分）在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B=A C=A A_{1}=\sqrt{5}, B C=4$ ，点 $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 的投影是线段 $B C$ 的中点 $O$ 。

（1）证明在侧棱 $\mathrm{AA}_{1}$ 上存在一点 E ，使得 $\mathrm{OE} \perp$ 平面 $\mathrm{BB}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}$ ，并求出 AE 的长；
（2）求平面 $A_{1} B_{1} C$ 与平面 ${B B_{1}} C_{1} C$ 夹角的余弦值。

20．（本小题满分 12 分）
根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位： mm ）对工期的影响如下表：

历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于 $300,700,900$ 的概率分别为 0.3 ， $0.7,0.9$ ，求：
（I）工期延误天数 $Y$ 的均值与方差；
（II）在降水量X至少是 300 的条件下，工期延误不超过 6 天的概率。

15、（2011•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 $\frac{2}{3}$ ，得到乙、丙公司面试的概率均为 P ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记 x 为该毕业生得到面试的公司个数．若 $P(X=0)=\frac{1}{12}$ ，则随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)=$ $\_\_\_\_$ $\frac{5}{3}$ ． ．

考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列。
专题：计算题。
分析：根据该毕业生得到面试的机会为 0 时的概率，做出得到乙、丙公司面试的概率，根据题意得到 x 的可能取值，结合变量对应的事件写出概率和做出期望。