（本小题满分14分）设 a_ n 是公差不为零的等差数列，…——2009 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
①设公差为 $d$ ，则 $a_{2}^{2}-a_{5}^{2}=a_{4}^{2}-a_{3}^{2}$ ，由性质得 $-3 d\left(a_{4}+a_{3}\right)=d\left(a_{4}+a_{3}\right)$ ，因为 $d \neq 0$ ，所【解析】以 $a_{4}+a_{3}=0$ ，即 $2 a_{1}+5 d=0$ ，又由 $S_{7}=7$ 得 $7 a_{1}+\frac{7 \times 6}{2} d=7$ ，解得 $a_{1}=-5 d=2$ 所以 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2 n-7$ ，前 $n$ 项和 $S_{n}=n^{2}-6 n$ 。
②$\frac{a_{m} a_{m+1}}{a_{m+2}}=\frac{(2 m-7)(2 m-5)}{(2 m-3)}$ ，令 $2 m-3=t, \frac{a_{m} a_{m+1}}{a_{m+2}}=\frac{(t-4)(t-2)}{t}=t+\frac{8}{t}-6, \mathrm{w}$ ．w．w．k．s．5．u．c．o．m
因为 $t$ 是奇数，所以 $t$ 可取的值为 $\pm 1$ ，当 $t=1, m=2$ 时，$t+\frac{8}{t}-6=3,2 \times 5-7=3$ ，是数列 $\left\{a_{n}\right\}_{\text {中的项；} t=-1, m=1_{\text {时，}} t+\frac{8}{t}-6=-15 \text { ，数列 }\left\{a_{n}\right\}_{\text {中的最小项是 }-5 \text { ，不符合。 }}{ }^{\text {仼 }} \text { 。 }}$
所以满足条件的正整数 $m=2$ 。