分类不完整高考易错题

13．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$ ，则过 $(3,0)$ 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为 $\_\_\_\_$ ．

5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）

19．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比大于 0 的等比数列．其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $a_{1}=1, S_{2}=a_{3}-1$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

②设 $b_{n}=\left\{\begin{array}{l}k, n=a_{k} \\ b_{n-1}+2 k, a_{k}（i）当 $n=a_{k+1}$ 时，求证：$b_{n-1} \geq a_{k} \cdot b_{n}$ ；
（ii）求 $\sum_{i=1}^{S_{n}} b_{i}$ ．

19．为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将 40 只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组 （加药物）．
（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；
（2）测得 40 只小鼠体重如下（单位： g ）：（已按从小到大排好）
对照组： $17.3 \quad 18.4 \quad 20.1 \quad 20.4 \quad 21.5 \quad 23.2 \quad 24.6 \quad 24.8 \quad 25.0 \quad 25.4$
$\begin{array}{llllllllll}26.1 & 26.3 & 26.4 & 26.5 & 26.8 & 27.0 & 27.4 & 27.5 & 27.6 & 28.3\end{array}$

（i）求 40 只小鼠体重的中位数 $m$ ，并完成下面 $2 \times 2$ 列联表：

（ii）根据 $2 \times 2$ 列联表，能否有 $95 \%$ 的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用。
参考数据：

19．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 $c$ ，将该指标大于 $c$ 的人判定为阳性，小于或等于 $c$ 的人判定为阴性。此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 $p(c)$ ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 $q(c)$ ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率 $p(c)=0.5 \%$ 时，求临界值 $c$ 和误诊率 $q(c)$ ；
②设函数 $f(c)=p(c)+q(c)$ ，当 $c \in[95,105]$ 时，求 $f(c)$ 的解析式，并求 $f(c)$ 在区间 $[95,105]$ 的最小值。

10．设 $a \neq 0$ ，若 $a$ 为函数 $f(x)=a(x-a)^{2}(x-b)$ 的极大值点，则（ ）

21．已知 $A , B$ 分别为椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a>1)$ 的左、右顶点，$G$ 为 $E$ 的上顶点， $\overrightarrow{A G} \cdot \overrightarrow{G B}=8, P$ 为直线 $x=6$ 上的动点，$P A$ 与 $E$ 的另一交点为 $C, P B$ 与 $E$ 的另一交点为 $D$ ．
（1）求 $E$ 的方程；
（2）证明：直线 $C D$ 过定点．

20．（13 分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，从中选取第 $i_{1}$ 项、第 $i_{2}$ 项、⋯、第 $i_{m}$ 项 $\left(i_{1}（I）写出数列 $1,8,3,7,5,6,9$ 的一个长度为 4 的递增子列；
（II）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的长度为 $p$ 的递增子列的末项的最小值为 $a \mathrm{~m}_{0}$ ，长度为 $q$ 的递增子列的末项的最小值为 $a \mathrm{n}_{0}$ ．若 $p（III）设无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若 $\left\{a_{n}\right\}$ 的长度为 $s$ 的递增子列末项的最小值为 $2 s-1$ ，且长度为 $s$ 末项为 $2 s-1$ 的递增子列恰有 $2^{s-1}$ 个 $(s=1$ ， $2, \cdots)$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．

23．（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设点集 $A_{n}=\{(0,0),(1,0),(2,0), \ldots,(n, 0)\}$ ， $B_{n}=\{(0,1),(n, 1)\}, C_{n}=\{(0,2),(1,2),(2,2), \cdots,(n, 2)\}, n \in \mathbf{N}^{*}$.

令 $M_{n}=A_{n} \cup B_{n} \cup C_{n}$ 。从集合 $M_{n}$ 中任取两个不同的点，用随机变量 $X$ 表示它们之间的距离．
（1）当 $n=1$ 时，求 $X$ 的概率分布；
（2）对给定的正整数 $n(n \geq 3)$ ，求概率 $P(X \leq n)$（用 $n$ 表示）．

2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） <br> 数学 I <br> 注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：
样本数据 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ 的方差 $s^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}$ ，其中 $\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}$ 。
柱体的体积 $V=S h$ ，其中 $S$ 是柱体的底面积，$h$ 是柱体的高．
锥体的体积 $V=\frac{1}{3} S h$ ，其中 $S$ 是锥体的底面积，$h$ 是锥体的高。

12．设函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{5}\right)(\omega>0)$ ，已知 $f(x)$ 在 $[0,2 \pi]$ 有且仅有 5 个零点，下述四个结论：
①$f(x)$ 在 $(0,2 \pi)$ 有且仅有 3 个极大值点
②$f(x)$ 在 $(0,2 \pi)$ 有且仅有 2 个极小值点
③$f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{10}\right)$ 单调递增
④$\omega$ 的取值范围是 $\left[\frac{12}{5}, \frac{29}{10}\right)$
其中所有正确结论的编号是

20．已知函数 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+b$ ．

（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）是否存在 $a, b$ ，使得 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 的最小值为 -1 且最大值为 1 ？若存在，求出 $a, b$的所有值；若不存在，说明理由．

（15）（本小题满分 13 分）
已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 $240,160,160$ ．现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动。
（I）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（II）设抽出的7名同学分别用 $A, B, C, D, E, F, G$ 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作。
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设 $M$ 为事件＂抽取的 2 名同学来自同一年级＂，求事件 $M$ 发生的概率．

（20）（本小题满分 14 分）
设函数 $f(x)=\left(x-t_{1}\right)\left(x-t_{2}\right)\left(x-t_{3}\right)$ ，其中 $t_{1}, t_{2}, t_{3} \in \mathbf{R}$ ，且 $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ 是公差为 $d$ 的等差数列．
（I）若 $t_{2}=0, d=1$ ，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程；
（II）若 $d=3$ ，求 $f(x)$ 的极值；
（III）若曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=-\left(x_{1}-t_{2}\right)-6 \sqrt{3}$ 有三个互异的公共点，求 $d$ 的取值范围．

17．（12分）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{5}=4 a_{3}$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）记 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{m}=63$ ，求 $m$ ．

20．（13 分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 是两个等差数列，记 $c_{n}=\max \left\{b_{1}-a_{1} n, b_{2}-a_{2} n, \ldots\right.$ ， $\left.b_{n}-a_{n} n\right\} ~(n=1,2,3, \ldots) ~$ 其中 $\max \left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}\right\}$ 表示 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}$ 这 $s$个数中最大的数．
（1）若 $a_{n}=n, b_{n}=2 n-1$ ，求 $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ 的值，并证明 $\left\{c_{n}\right\}$ 是等差数列；
（2）证明：或者对任意正数 $M$ ，存在正整数 $m$ ，当 $n \geqslant m$ 时，$\frac{c_{n}}{n}>M$ ；或者存在正整数 $m$ ，使得 $c_{m}, c_{m+1}, c_{m+2}, \ldots$ 是等差数列。

12．（5分）设 $A, B$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{m}=1$ 长轴的两个端点，若 $C$ 上存在点 $M$ 满足 $\angle A M B=120^{\circ}$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

20．（13 分）设数列 $A: a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N}(N \geqslant 2)$ 。如果对小于 $n(2 \leqslant n \leqslant N)$ 的每个正整数 $k$ 都有 $a_{k}（I）对数列 A：－2，2，－1，1，3，写出 $\mathrm{G}(\mathrm{A})$ 的所有元素；
（II）证明：若数列 $A$ 中存在 $a_{n}$ 使得 $a_{n}>a_{1}$ ，则 $G(A) \neq \varnothing$ ；
（III）证明：若数列 $A$ 满足 $a_{n}-a_{n-1} \leqslant 1(n=2,3, \ldots, N)$ ，则 $G(A)$ 的元素个数不小于 $a_{N}-a_{1}$ ．

20．（13 分）设函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ ．
（1）求曲线 $y=f(x)$ 在点（ $0, f(0)$ ）处的切线方程；
②设 $a=b=4$ ，若函数 $f(x)$ 有三个不同零点，求 $c$ 的取值范围；
（3）求证：$a^{2}-3 b>0$ 是 $f(x)$ 有三个不同零点的必要而不充分条件．

12．（5分）定义＂规范01数列＂$\left\{a_{n}\right\}$ 如下：$\left\{a_{n}\right\}$ 共有 $2 m$ 项，其中 $m$ 项为 0 ，$m$ 项为 1 ，且对任意 $k \leq 2 m, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}$ 中 0 的个数不少于 1 的个数，若 $m=4$ ，则不同的＂规范01数列＂共有

20．如图，椭圆 $\mathrm{E}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过点 $\mathrm{P}(0,1)$ 的动直线 $l$ 与椭圆相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$两点，当直线 $l$ 平行与 $x$ 轴时，直线 $l$ 被椭圆 E 截得的线段长为 $2 \sqrt{2}$ ．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q ，使得 $\frac{|Q A|}{|Q B|}=\frac{|P A|}{|P B|}$ 恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分 12 分）
已知点 $F$ 为抛物线 $E: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点，点 $A(2, m)$ 在抛物线 $E$ 上，且 $|A F|=3$ ．
（I）求抛物线 $E$ 的方程；
（ II ）已知点 $G(-1,0)$ ，延长 $A F$ 交抛物线 $E$ 于点 $B$ ，证明：以点 $F$ 为圆心且与直线 $G A$ 相切的圆，必与直线 $G B$ 相切．

19．（本小题满分 13 分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1}=1, a_{2}=2$ ，且 $a_{n+1}=3 S_{n} -S_{n+1}+3,\left(n \in N^{*}\right)$,
（I）证明：$a_{n+2}=3 a_{n}$ ；
（II）求 $S_{n}$ 。

5．（5 分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，则＂$q>1$＂是＂$\left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列＂的

22．（12分）已知抛物线C：$y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y=4$ 与 $y$ 轴的交点为 P ，与 C 的交点为 Q ，且 $|\mathrm{QF}|=\frac{5}{4}|\mathrm{PQ}|$ ．
（I）求C的方程；
（II）过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $A B$ 的垂直平分线 $I$ 与 $C$ 相交于 $M$ 、N两点，且 $A , M , B , N$ 四点在同一圆上，求 $I$ 的方程．

20．（本小题满分 16 分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$．若对任意正整数 $n$，总存在正整数 $m$，使得 $S_{n}=a_{m}$，则称 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$H$ 数列＂。
（1）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=2^{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$，证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$H$ 数列＂；
②设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，其首项 $a_{1}=1$，公差 $d<0$。若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$H$ 数列＂，求 $d$ 的值；
（3）证明：对任意的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$，总存在两个＂$H$ 数列＂$\left\{b_{n}\right\}$ 和 $\left\{c_{n}\right\}$，使得
$a_{n}=b_{n}+c_{n}$
$\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 成立。

三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、 24 四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4－ 1：几何证明选讲】

21．（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分）
如题（21）图，设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$，点 $D$ 在椭圆上， $D F_{1} \perp F_{1} F_{2}, \frac{\left|F_{1} F_{2}\right|}{\left|D F_{1}\right|}=2 \sqrt{2}, \Delta D F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（I）求该椭圆的标准方程；
（II）是否存在圆心在 $y$ 轴上的圆，使圆在 $x$ 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由．

题（21）图

18．（13 分）已知函数 $f(x)=a x^{2}+1(a>0), g(x)=x^{3}+b x$

（1）若曲线 $y=f(x)$ 与曲线 $y=g(x)$ 在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求 $a , b$ 的值；
（2）当 $a^{2}=4 b$ 时，求函数 $f(x)+g(x)$ 的单调区间，并求其在区间 $(-\infty$ ， －1）上的最大值．

5．（5分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$a_{4}+a_{7}=2, a_{5} a_{6}=-8$ ，则 $a_{1}+a_{10}=$（）

16．（5分）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}+(-1){ }^{n} a_{n}=2 n-1$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 60 项和为

$$ 1830 $$

12．（5分）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}+(-1){ }^{n} a_{n}=2 n-1$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前60项和为（

17．（本小题满分 13 分）
某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：
［40，50），［50，60），［60，70），［70，80），［80，90），［90，100］，
（1）求图中 x 的值；
（2）从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人， 2 人中成绩在 90 分以上（含 90 分）的人数记为 $\xi$ ，求 $\xi$ 的数学期望。

17．（13分）（2011 •北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。

（I）如果 $\mathrm{X}=8$ ，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
（II）如果 $\mathrm{X}=9$ ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数 Y 的分布列和数学期望。
（注：方差 $s^{2}=\frac{1}{n}\left[\left(x_{1}-\bar{x}\right)^{2}+\left(x_{2}-\bar{x}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}-\bar{x}\right)^{2}\right]$ ，其中 $\bar{x}$ 为 $x_{1}, x_{2}$ ，... $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ 的平均数）

甲组

乙组

16．（本小题共13分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示。

（1）如果 $\mathrm{x}=8$ ，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（2）如果 $x=9$ ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率．
（注：方差 $s^{2}=\frac{1}{n}\left[\left(x_{1}-\vec{x}\right)^{2}+\left(x_{2}-\vec{x}\right)^{2}+\cdots\left(x_{n}-\vec{x}\right)^{2}\right]$ ，其中 $\vec{x}$ 为 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的平均数）

16．（5分）已知 $F_{1} , F_{2}$ 分别为双曲线C：$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{27}=1$ 的左、右焦点，点A，CC，点 $M$ 的坐标为 $(2,0), A M$ 为 $\angle F_{1} A F_{2}$ 的平分线，则 $\left|A F_{2}\right|=$ $\_\_\_\_$ 6 ．

17．（10分）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{2}=6,6 a_{1}+a_{3}=30$ ，求 $a_{n}$ 和 $S_{n}$

20．（本小题满分16分）
设 $M$ 为部分正整数组成的集合，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项 $a_{1}=1$ ，前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，已知对任意整数 $k \in M$ ，当 $n>k$ 时，$S_{n+k}+S_{n-k}=2\left(S_{n}+S_{k}\right)$ 都成立。
（1）设 $M=\{1\}, a_{2}=2$ ，求 $a_{5}$ 的值；
②设 $M=\{3,4\}$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．

2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学II（附加题）

20．（本小题满分 14 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足：$b_{n} a_{n}+a_{n+1}+b_{n+1} a_{n+2}=0, b_{n}=\frac{3+(-1)^{n}}{2}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，且 $a_{1}=2, a_{2}=4$.
（I）求 $a_{3}, a_{4}, a_{5}$ 的值；
（II）设 $c_{n}=a_{2 n-1}+a_{2 n+1}, n \in N^{*}$ ，证明：$\left\{c_{n}\right\}$ 是等比数列；
（III）设 $S_{k}=a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{2 k}, k \in N^{*}$ ，证明：$\sum_{k=1}^{4 n} \frac{S_{k}}{a_{k}}<\frac{7}{6}\left(n \in N^{*}\right)$ ．

19．（本小题满分 14 分）
设 $a>0$ ，讨论函数 $f(x)=\ln x+a(1-a) x^{2}-2(1-a) x$ 的单调性．

8、（2011•浙江）已知椭圆 $\frac{x^{2}}{k+8}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 的离心率 $\mathrm{e}=\frac{1}{2}$ ，则 k 的值为（ ）

9、（2011 • 浙江）有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本．若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（）