在 A B C 中， cos A = - 1 3 , a…——2025 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
> (1)6

> (2)答案见解析

【分析】①由平方关系、正弦定理即可求解；

> (2)若选①，可得A，C都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理、平方关系求得，sinB，cosB，进一步由AD$= c \sin B$ 求得高，并说明此时三角形ABC存在即可；若选③，首先根据三角形面积公式求得b，再根据余弦定理可求得a，由此可说明三角形ABC存在，且可由等面积法求解AD.

【解析】(1)因为 $\mathrm { c o s } A = - \frac { 1 } { 3 } , A \in ( 0 , \pi )$ ,所以 $\sin A = { \sqrt { 1 - \cos ^ { 2 } A } } = { \frac { 2 { \sqrt { 2 } } } { 3 } }$

由正弦定理有 $a { \sin } C = c { \sin } A { = } \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } c { = } 4 \sqrt { 2 }$ ,解得 $c = 6$

> (2) 如图所示，若 $\triangle A B C$ 存在，则设其BC边上的高为 $A D$

若选①，a=6，因为 $c = 6$ ,所以 $C = A$ ,因为 $\mathrm { c o s } A = - \frac { 1 } { 3 } < 0$ ，这表明此时三角形ABC有两个钝角，而这是不可能的，所以此时三角形ABC不存在，故BC边上的高也不存在；

若选②， $b s i n C = \frac { 1 0 \sqrt { 2 } } { 3 }$ ，由正弦定理有 $b { \sin C } = c { \sin B } = 6 { \sin B } = \frac { 1 0 \sqrt { 2 } } { 3 }$ ，解得 $\mathrm { s i n } B = \frac { 5 \sqrt { 2 } } { 9 }$ 9

$$ \mathrm { c o s } B = \sqrt { 1 - \frac { 5 0 } { 8 1 } } = \frac { \sqrt { 3 1 } } { 9 } \ , A D = c \mathrm { s i n } B = 6 \times \frac { 5 \sqrt { 2 } } { 9 } = \frac { 1 0 \sqrt { 2 } } { 3 } \ , $$

1 2√2 而 cos∠DAB = sinB, sin∠DAB = cosB, cosA = , sinA = 3 3

所以 $\cos \angle C A D = \cos ( \angle C A B - \angle B A D ) , \sin \angle C A D = { \sqrt { 1 - \cos ^ { 2 } \angle C A D } }$ 可以唯一确定，所以此时 $C A , C D$ 也可以唯一确定，

这表明此时三角形ABC是存在的，且BC边上的高 $A D = \frac { 1 0 \sqrt { 2 } } { 3 }$

若选③，△ABC的面积是 $1 0 \sqrt { 2 }$ ,则 $S _ { \triangle A B C } = \frac { 1 } { 2 } b c { \sin A } = \frac { 1 } { 2 } b \times 6 \times \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } = 1 0 \sqrt { 2 }$

解得 $b = 5$ ，由余弦定理可得 $a = { \sqrt { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 2 b c { \cos } A } } = { \sqrt { 2 5 + 3 6 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \left( - { \frac { 1 } { 3 } } \right) } } = 9$ 可以唯一确定，

这表明此时三角形ABC是存在的，且BC边上的高满足： $S _ { \triangle A B C } { = } \frac { 1 } { 2 } a \cdot A D { = } \frac { 9 } { 2 } A D { = } 1 0 \sqrt { 2 }$ ,即 $A D =$ $\frac { 2 0 { \sqrt { 2 } } } { 9 }$