在 A B C 中，角 A, B, C 所对的边分別是 a…——2023 高考数学第 16 题答案解析

【答案】①$\frac{\sqrt{13}}{13}$
（2） 5
（3）$-\frac{7 \sqrt{3}}{26}$
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理即可解出；
（3）由正弦定理求出 $\sin C$ ，再由平方关系求出 $\cos B, \cos C$ ，即可由两角差的正弦公式求出．
【小问 1 详解】
由正弦定理可得，$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ ，即 $\frac{\sqrt{39}}{\sin 120^{\circ}}=\frac{2}{\sin B}$ ，解得： $\sin B=\frac{\sqrt{13}}{13}$ ；
【小问 2 详解】

由余弦定理可得，$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \sin A$ ，即 $39=4+c^{2}-2 \times 2 \times c \times\left(-\frac{1}{2}\right)$ ，
解得：$c=5$ 或 $c=-7$（舍去）．

## 【小问 3 详解】

由正弦定理可得，$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ ，即 $\frac{\sqrt{39}}{\sin 120^{\circ}}=\frac{5}{\sin C}$ ，解得： $\sin C=\frac{5 \sqrt{13}}{26}$ ，而 $A=120^{\circ}$ ，
所以 $B, C$ 都为锐角，因此 $\cos C=\sqrt{1-\frac{25}{52}}=\frac{3 \sqrt{39}}{26}, \cos B=\sqrt{1-\frac{1}{13}}=\frac{2 \sqrt{39}}{13}$ ，
故 $\sin (B-C)=\sin B \cos C-\cos B \sin C=\frac{\sqrt{13}}{13} \times \frac{3 \sqrt{39}}{26}-\frac{2 \sqrt{39}}{13} \times \frac{5 \sqrt{13}}{26}=-\frac{7 \sqrt{3}}{26}$ ．