在 A B C 中， cos B= 9 16 , b=5,…——2024 高考数学第 16 题答案解析

【答案】（1） 4
②$\frac{\sqrt{7}}{4}$
（3）$\frac{57}{64}$

## 【解析】

【分析】（1）$a=2 t, c=3 t$ ，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；
（2）法一：求出 $\sin B$ ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出 $\cos A$ ，则得到 $\sin A$ ；
（3）法一：根据大边对大角确定 A 为锐角，则得到 $\cos A$ ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；
法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可．

## 【小问 1 详解】

设 $a=2 t, c=3 t, t>0$ ，则根据余弦定理得 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B$ ，

即 $25=4 t^{2}+9 t^{2}-2 \times 2 t \times 3 t \times \frac{9}{16}$ ，解得 $t=2$（负舍）；
则 $a=4, c=6$ ．

## 【小问 2 详解】

法一：因为 $B$ 为三角形内角，所以 $\sin B=\sqrt{1-\cos ^{2} B}=\sqrt{1-\left(\frac{9}{16}\right)^{2}}=\frac{5 \sqrt{7}}{16}$ ，
再根据正弦定理得 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ ，即 $\frac{4}{\sin A}=\frac{5}{\frac{5 \sqrt{7}}{16}}$ ，解得 $\sin A=\frac{\sqrt{7}}{4}$ ，
法二：由余弦定理得 $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{5^{2}+6^{2}-4^{2}}{2 \times 5 \times 6}=\frac{3}{4}$ ，
因为 $A \in(0, \pi)$ ，则 $\sin A=\sqrt{1-\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$

## 【小问 3 详解】

法一：因为 $\cos B=\frac{9}{16}>0$ ，且 $B \in(0, \pi)$ ，所以 $B \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，
由②法一知 $\sin B=\frac{5 \sqrt{7}}{16}$ ，
因为 $a则 $\sin 2 A=2 \sin A \cos A=2 \times \frac{\sqrt{7}}{4} \times \frac{3}{4}=\frac{3 \sqrt{7}}{8}, \cos 2 A=2 \cos ^{2} A-1=2 \times\left(\frac{3}{4}\right)^{2}-1=\frac{1}{8}$
$\cos (B-2 A)=\cos B \cos 2 A+\sin B \sin 2 A=\frac{1}{8} \times \frac{9}{16}+\frac{5 \sqrt{7}}{16} \times \frac{3 \sqrt{7}}{8}=\frac{57}{64}$ ．
法二： $\sin 2 A=2 \sin A \cos A=2 \times \frac{\sqrt{7}}{4} \times \frac{3}{4}=\frac{3 \sqrt{7}}{8}$ ，
则 $\cos 2 A=2 \cos ^{2} A-1=2 \times\left(\frac{3}{4}\right)^{2}-1=\frac{1}{8}$ ，
因为 $B$ 为三角形内角，所以 $\sin B=\sqrt{1-\cos ^{2} B}=\sqrt{1-\left(\frac{9}{16}\right)^{2}}=\frac{5 \sqrt{7}}{16}$ ，
所以 $\cos (B-2 A)=\cos B \cos 2 A+\sin B \sin 2 A=\frac{9}{16} \times \frac{1}{8}+\frac{5 \sqrt{7}}{16} \times \frac{3 \sqrt{7}}{8}=\frac{57}{64}$