2020_北京卷 (2020)
17．在 $\triangle A B C$ 中，$a+b=11$ ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（ I ）$a$ 的值：
（ II ） $\sin C$ 和 $\triangle A B C$ 的面积．
条件①：$c=7, \cos A=-\frac{1}{7}$ ；
条件②： $\cos A=\frac{1}{8}, \cos B=\frac{9}{16}$ ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。
选择条件①（I） 8 （II） $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}, S=6 \sqrt{3}$ ； 选择条件②（I ） 6 （II） $\sin C=\frac{\sqrt{7}}{4}, S=\frac{15 \sqrt{7}}{4}$ ．
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】选择条件①（I） 8 （II） $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}, S=6 \sqrt{3}$ ；
选择条件②（I ） 6 （II） $\sin C=\frac{\sqrt{7}}{4}, S=\frac{15 \sqrt{7}}{4}$ ．
【解析】
【分析】
选择条件①（I）根据余弦定理直接求解，（II）先根据三角函数同角关系求得 $\sin A$ ，再根据正弦定理求 $\sin C$ ，最后根据三角形面积公式求结果；
选择条件②（I）先根据三角函数同角关系求得 $\sin A, \sin B$ ，再根据正弦定理求结果，（II ）根据两角和正弦公式求 $\sin C$ ，再根据三角形面积公式求结果．
【详解】选择条件①（I）$\because c=7, \cos A=-\frac{1}{7}, a+b=11$
$\because a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A \therefore a^{2}=(11-a)^{2}+7^{2}-2(11-a) \cdot 7 \cdot\left(-\frac{1}{7}\right)$
$\therefore a=8$
（II）$\because \cos A=-\frac{1}{7}, \quad A \in(0, \pi) \therefore \sin A=\sqrt{1-\cos ^{2} A}=\frac{4 \sqrt{3}}{7}$
由正弦定理得：$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C} \therefore \frac{8}{\frac{4 \sqrt{3}}{7}}=\frac{7}{\sin C} \therefore \sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$S=\frac{1}{2} b a \sin C=\frac{1}{2}(11-8) \times 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=6 \sqrt{3}$
选择条件②（I ）$\because \cos A=\frac{1}{8}, \cos B=\frac{9}{16}, A, B \in(0, \pi)$
$\therefore \sin A=\sqrt{1-\cos ^{2} A}=\frac{3 \sqrt{7}}{8}, \sin B=\sqrt{1-\cos ^{2} B}=\frac{5 \sqrt{7}}{16}$
由正弦定理得：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B} \therefore \frac{a}{\frac{3 \sqrt{7}}{8}}=\frac{11-a}{\frac{5 \sqrt{7}}{16}} \therefore a=6$
（II） $\sin C=\sin (A+B)=\sin A \cos B+\sin B \cos A=\frac{3 \sqrt{7}}{8} \times \frac{9}{16}+\frac{5 \sqrt{7}}{16} \times \frac{1}{8}=\frac{\sqrt{7}}{4}$
$S=\frac{1}{2} b a \sin C=\frac{1}{2}(11-6) \times 6 \times \frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{15 \sqrt{7}}{4}$
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题．