2022_全国甲卷 (2022·文)
17．甲、乙两城之间的长途客车均由 $A$ 和 $B$ 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的 500 个班次，得到下面列联表：
| 准点班次数 | 未准点班次数 | |
|---|---|---|
| $A$ | 240 | 20 |
| B | 210 | 30 |
（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
（2）能否有 $90 \%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，
| $P\left(K^{2} \ldots k\right)$ | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
|---|---|---|---|
| $k$ | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
【答案】（1）$A, B$ 两家公司长途客车准点的概率分别为 $\frac{12}{13}, \frac{7}{8}$
②有
## 【解析】
【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；
（2）根据表格中数据及公式计算 $K^{2}$ ，再利用临界值表比较即可得结论。
## 【小问 1 详解】
根据表中数据，$A$ 共有班次 260 次，准点班次有 240 次，
设 $A$ 家公司长途客车准点事件为 $M$ ，
则 $P(M)=\frac{240}{260}=\frac{12}{13}$ ；
B共有班次 240 次，准点班次有 210 次，
设 $B$ 家公司长途客车准点事件为 $N$ ，
则 $P(N)=\frac{210}{240}=\frac{7}{8}$ ．
$A$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{12}{13}$ ；
$B$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{7}{8}$ ．
## 【小问 2 详解】
列联表
| 准点班次数 | 未准点班次数 | 合计 | |
|---|---|---|---|
| A | 240 | 20 | 260 |
| B | 210 | 30 | 240 |
| 合计 | 450 | 50 | 500 |
$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
$=\frac{500 \times(240 \times 30-210 \times 20)^{2}}{260 \times 240 \times 450 \times 50} \approx 3.205>2.706$ ，
根据临界值表可知，有 $90 \%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．