设数列 a_ n 满足 a_ 1 =3, a_ n+1 =…——2020 高考数学第 17 题答案解析

【答案】①$a_{2}=5, a_{3}=7, a_{n}=2 n+1$ ，证明见解析；②$S_{n}=(2 n-1) \cdot 2^{n+1}+2$ ．
【解析】
【分析】
（1）利用递推公式得出 $a_{2}, a_{3}$ ，猜想得出 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；
②由错位相减法求解即可。

【详解】①由题意可得 $a_{2}=3 a_{1}-4=9-4=5, a_{3}=3 a_{2}-8=15-8=7$ ，由数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前三项可猜想数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 3 为首项， 2 为公差的等差数列，即 $a_{n}=2 n+1$ ，证明如下：

当 $n=1$ 时，$a_{1}=3$ 成立；

假设 $n=k$ 时，$a_{k}=2 k+1$ 成立．

那么 $n=k+1$ 时，$a_{k+1}=3 a_{k}-4 k=3(2 k+1)-4 k=2 k+3=2(k+1)+1$ 也成立。

则对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n}=2 n+1$ 成立；
②由①可知，$a_{n} \cdot 2^{n}=(2 n+1) \cdot 2^{n}$

$$ S_{n}=3 \times 2+5 \times 2^{2}+7 \times 2^{3}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n-1}+(2 n+1) \cdot 2^{n}, $$

$$ 2 S_{n}=3 \times 2^{2}+5 \times 2^{3}+7 \times 2^{4}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n}+(2 n+1) \cdot 2^{n+1}, $$

由①—②得：$-S_{n}=6+2 \times\left(2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n}\right)-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$

$$ =6+2 \times \frac{2^{2} \times\left(1-2^{n-1}\right)}{1-2}-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}=(1-2 n) \cdot 2^{n+1}-2, $$

即 $S_{n}=(2 n-1) \cdot 2^{n+1}+2$ 。
【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题．