2020_新课标 III 卷 (2020·理)
17．设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=3, a_{n+1}=3 a_{n}-4 n$ ．
（1）计算 $a_{2}, a_{3}$ ，猜想 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式并加以证明；
（2）求数列 $\left\{2^{n} a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．
(1) $a_{2}=5, a_{3}=7, a_{n}=2 n+1$ ，证明见解析; (2) $S_{n}=(2 n-1) \cdot 2^{n+1}+2$ ．
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】①$a_{2}=5, a_{3}=7, a_{n}=2 n+1$ ，证明见解析；②$S_{n}=(2 n-1) \cdot 2^{n+1}+2$ ．
【解析】
【分析】
（1）利用递推公式得出 $a_{2}, a_{3}$ ，猜想得出 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；
②由错位相减法求解即可。
【详解】①由题意可得 $a_{2}=3 a_{1}-4=9-4=5, a_{3}=3 a_{2}-8=15-8=7$ ，由数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前三项可猜想数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 3 为首项， 2 为公差的等差数列，即 $a_{n}=2 n+1$ ，证明如下：
当 $n=1$ 时，$a_{1}=3$ 成立；
假设 $n=k$ 时，$a_{k}=2 k+1$ 成立．
那么 $n=k+1$ 时，$a_{k+1}=3 a_{k}-4 k=3(2 k+1)-4 k=2 k+3=2(k+1)+1$ 也成立。
则对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n}=2 n+1$ 成立；
②由①可知，$a_{n} \cdot 2^{n}=(2 n+1) \cdot 2^{n}$
$$ S_{n}=3 \times 2+5 \times 2^{2}+7 \times 2^{3}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n-1}+(2 n+1) \cdot 2^{n}, $$
$$ 2 S_{n}=3 \times 2^{2}+5 \times 2^{3}+7 \times 2^{4}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n}+(2 n+1) \cdot 2^{n+1}, $$
由①—②得：$-S_{n}=6+2 \times\left(2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n}\right)-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$
$$ =6+2 \times \frac{2^{2} \times\left(1-2^{n-1}\right)}{1-2}-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}=(1-2 n) \cdot 2^{n+1}-2, $$
即 $S_{n}=(2 n-1) \cdot 2^{n+1}+2$ 。
【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题．
面对数列前 n 项和时，能根据通项结构选对求和方法，并避免错项、漏项和下标错位。