2023_全国甲卷 (2023·理)
17．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=1$ ，设 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和， $2 S_{n}=n a_{n}$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\frac{a_{n}+1}{2^{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．
(1) $a_{n}=n-1$; (2) $T_{n}=2-(2+n)\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】①$a_{n}=n-1$
②$T_{n}=2-(2+n)\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$
【解析】
【分析】（1）根据 $a_{n}=\left\{\begin{array}{l}S_{1}, n=1 \\ S_{n}-S_{n-1}, n \geq 2\end{array}\right.$ 即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出。
【小问 1 详解】
因为 $2 S_{n}=n a_{n}$ ，
当 $n=1$ 时， $2 a_{1}=a_{1}$ ，即 $a_{1}=0$ ；
当 $n=3$ 时， $2\left(1+a_{3}\right)=3 a_{3}$ ，即 $a_{3}=2$ ，
当 $n \geq 2$ 时， $2 S_{n-1}=(n-1) a_{n-1}$ ，所以 $2\left(S_{n}-S_{n-1}\right)=n a_{n}-(n-1) a_{n-1}=2 a_{n}$ ，
化简得：$(n-2) a_{n}=(n-1) a_{n-1}$ ，当 $n \geq 3$ 时，$\frac{a_{n}}{n-1}=\frac{a_{n-1}}{n-2}=\cdots=\frac{a_{3}}{2}=1$ ，即 $a_{n}=n-1$ ，
当 $n=1,2,3$ 时都满足上式，所以 $a_{n}=n-1\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$ ．
【小问 2 详解】
因为 $\frac{a_{n}+1}{2^{n}}=\frac{n}{2^{n}}$ ，所以 $T_{n}=1 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{1}+2 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+3 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\cdots+n \times\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ ，
$\frac{1}{2} T_{n}=1 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+2 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\cdots+(n-1) \times\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+n \times\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$,
两式相减得，
$\frac{1}{2} T_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{1}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\cdots+\left(\frac{1}{2}\right)^{n}-n \times\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}=\frac{\frac{1}{2} \times\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right]}{1-\frac{1}{2}}-n \times\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$,
$=1-\left(1+\frac{n}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ ，即 $T_{n}=2-(2+n)\left(\frac{1}{2}\right)^{n}, n \in \mathrm{~N}^{*}$ ．
面对数列前 n 项和时，能根据通项结构选对求和方法，并避免错项、漏项和下标错位。