2021_浙江卷 (2021)
20．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=-\frac{9}{4}$ ，且 $4 S_{n+1}=3 S_{n}-9$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项；
②设数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $3 b_{n}+(n-4) a_{n}=0\left(n \in N^{*}\right)$ ，记 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} \leq \lambda b_{n}$ 对任意 $n \in \mathrm{~N}^{*}$ 恒成立，求实数 $\lambda$ 的取值范围．
【答案】
①$a_{n}=-3 \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ ；
②$-3 \leq \lambda \leq 1$ ．
## 【解析】
【分析】①由 $4 S_{n+1}=3 S_{n}-9$ ，结合 $S_{n}$ 与 $a_{n}$ 的关系，分 $n=1, n \geq 2$ 讨论，得到数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列 ，即可得出结论；
②由 $3 b_{n}+(n-4) a_{n}=0$ 结合①的结论，利用错位相减法求出 $T_{n}, T_{n} \leq \lambda b_{n}$ 对任意 $n \in \mathrm{~N}^{*}$ 恒成立，分类讨论分离参数 $\lambda$ ，转化为 $\lambda$ 与关于 $n$ 的函数的范围关系，即可求解．
【详解】①当 $n=1$ 时， $4\left(a_{1}+a_{2}\right)=3 a_{1}-9$ ，
$4 a_{2}=\frac{9}{4}-9=-\frac{27}{4}, \therefore a_{2}=-\frac{27}{16}$ ，
当 $n \geq 2$ 时，由 $4 S_{n+1}=3 S_{n}-9$①，
得 $4 S_{n}=3 S_{n-1}-9$②，①一②得 $4 a_{n+1}=3 a_{n}$
$a_{2}=-\frac{27}{16} \neq 0, \therefore a_{n} \neq 0, \therefore \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{3}{4}$,
又 $\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{3}{4}, \therefore\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 $-\frac{9}{4}$ ，公比为 $\frac{3}{4}$ 的等比数列，
$\therefore a_{n}=-\frac{9}{4} \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}=-3 \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ ；
②由 $3 b_{n}+(n-4) a_{n}=0$ ，得 $b_{n}=-\frac{n-4}{3} a_{n}=(n-4)\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ ，
所以 $T_{n}=-3 \times \frac{3}{4}-2 \times\left(\frac{3}{4}\right)^{2}-1 \times\left(\frac{3}{4}\right)^{3}+0 \times\left(\frac{3}{4}\right)^{4}+\cdots+(n-4) \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ ，
$\frac{3}{4} T_{n}=-3 \times\left(\frac{3}{4}\right)^{2}-2 \times\left(\frac{3}{4}\right)^{3}-1 \times\left(\frac{3}{4}\right)^{4}+\cdots+(n-5) \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n}+(n-4) \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n+1}$,
两式相减得 $\frac{1}{4} T_{n}=-3 \times \frac{3}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{3}+\left(\frac{3}{4}\right)^{4}+\cdots\left(\frac{3}{4}\right)^{n}-(n-4) \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n+1}$
$=-\frac{9}{4}+\frac{\frac{9}{16}\left[1-\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}\right]}{1-\frac{3}{4}}-(n-4)\left(\frac{3}{4}\right)^{n+1}$
$=-\frac{9}{4}+\frac{9}{4}-4\left(\frac{3}{4}\right)^{n+1}-(n-4) \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n+1}=-n \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n+1}$,
所以 $T_{n}=-4 n \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n+1}$ ，
由 $T_{n} \leq \lambda b_{n}$ 得 $-4 n \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n+1} \leq \lambda(n-4) \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ 恒成立，
即 $\lambda(n-4)+3 n \geq 0$ 恒成立，
$n=4$ 时不等式恒成立；
$n<4$ 时，$\lambda \leq-\frac{3 n}{n-4}=-3-\frac{12}{n-4}$ ，得 $\lambda \leq 1$ ；
$n>4$ 时，$\lambda \geq-\frac{3 n}{n-4}=-3-\frac{12}{n-4}$ ，得 $\lambda \geq-3$ ；
所以 $-3 \leq \lambda \leq 1$ ．
【点睛】易错点点睛：（1）已知 $S_{n}$ 求 $a_{n}$ 不要忽略 $n=1$ 情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如②中 $\lambda(n-4)+3 n \geq 0$ 恒成立，要对 $n-4=0, n-4>0, n-4<0$ 讨论，还要注意 $n-4<0$ 时，分离参数不等式要变号．