2009_退役省自主命题 (2009·理)
16．（4分）（2009•陕西）设曲线 $y=x^{n+1}\left(n \in N^{*}\right)$ 在点（1，1）处的切线与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ ，则 $\mathrm{x}_{1} \cdot \mathrm{x}_{2} \cdot \ldots \cdot \mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ 的值为一 $\frac{1}{\mathrm{n}+1}$ —。
$\frac{1}{n+1}$
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【考点】归纳推理；简单复合函数的导数；直线的点斜式方程．
【专题】压轴题；规律型。
【分析】本题考查的主要知识点是导数的应用，由曲线 $y=x^{n+1}\left(n \in N^{*}\right)$ ，求导后，不难得到曲线 $y=x^{n+1}\left(n \in N^{*}\right)$ 在点（1，1）处的切线方程，及与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $x_{n}$ ，分析其特点，易得 $\mathrm{x}_{1} \bullet \mathrm{x}_{2} \bullet \ldots \cdot \mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ 的值。
【解答】解：对 $y=x^{n+1}\left(n \in N^{*}\right)$ 求导得 $y^{\prime}=(n+1) x^{n}$ ，
令 $\mathrm{x}=1$ 得在点 $(1,1)$ 处的切线的斜率 $\mathrm{k}=\mathrm{n}+1$ ，
在点 $(1,1)$ 处的切线方程为 $\mathrm{y}-1=\mathrm{k}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}-1\right)=(\mathrm{n}+1) \quad\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}-1\right)$ ，
不妨设 $y=0, x_{n}=\frac{n}{n+1}$
则 $x_{1} \cdot x_{2} \cdot \ldots \cdot x_{n}=\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \ldots \times \frac{n-1}{n} \times \frac{n}{n+1}=\frac{1}{n+1}$ ．
故答案为：$\frac{1}{n+1}$
【点评】当题目中遇到求曲线 C 在点 $\mathrm{A}(\mathrm{m}, \mathrm{n})$ 点的切线方程时，其处理步骤为：①判断 A 点是否在 C 上②求出 C 对应函数的导函数③求出过 A 点的切线的斜率④代入点斜式方程 ，求出直线的方程．