已知数列 a_ n 中， a_ 1 =1, a_ n+1…——2008 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
（4 分）（2008•天津）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{3^{n+1}}(n \in N *)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=-\frac{7}{6}-$.
【考点】数列的求和；极限及其运算．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】首先由 $a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{3^{n+1}}(n \in N *)$ 求 $a_{n}$ 可以猜想到用错位相加法把中间项消去，即可得到 $a_{n}$ 的表达式，再求极限即可．
【解答】解：因为
$a_{n}=\left(a_{n}-a_{n-1}\right)+\left(a_{n-1}+a_{n-2}\right)++\left(a_{2}-a_{1}\right)+a_{1}=\frac{1}{3^{n}}+\frac{1}{3^{n-1}}+\cdots+\frac{1}{3^{2}}+1$

所以 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ 是一个等比数列的前 n 项和，所以 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{1-\mathrm{q}^{\mathrm{n}}}{1-\mathrm{q}}$ ，且 $\mathrm{q}=2$ ．代入，
所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=1+\frac{\frac{1}{3^{2}}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{7}{6}$ ．
所以答案为 $\frac{7}{6}$
【点评】此题主要考查数列的求和问题，用到错位相加法的思想，需要注意．

【解答】
$\frac{7}{6}$

【解答】
（4 分）（2008•天津）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{3^{n+1}}(n \in N *)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=-\frac{7}{6}-$.
【考点】数列的求和；极限及其运算．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】首先由 $a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{3^{n+1}}(n \in N *)$ 求 $a_{n}$ 可以猜想到用错位相加法把中间项消去，即可得到 $a_{n}$ 的表达式，再求极限即可．
【解答】解：因为
$a_{n}=\left(a_{n}-a_{n-1}\right)+\left(a_{n-1}+a_{n-2}\right)++\left(a_{2}-a_{1}\right)+a_{1}=\frac{1}{3^{n}}+\frac{1}{3^{n-1}}+\cdots+\frac{1}{3^{2}}+1$

所以 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ 是一个等比数列的前 n 项和，所以 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{1-\mathrm{q}^{\mathrm{n}}}{1-\mathrm{q}}$ ，且 $\mathrm{q}=2$ ．代入，
所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=1+\frac{\frac{1}{3^{2}}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{7}{6}$ ．
所以答案为 $\frac{7}{6}$
【点评】此题主要考查数列的求和问题，用到错位相加法的思想，需要注意．