数列求和　·　历年高考数学真题与解析

4．等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{9}=1, a_{3}+a_{7}=()$

13．记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $8 S_{6}=7 S_{3}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $\_\_\_\_$ ．

14．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的＂环权＂．已知 9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，该数列的前 3 项成等差数列，后 7 项成等比数列，且 $a_{1}=1, a_{5}=12, a_{9}=192$ ，则 $a_{7}=$ $\_\_\_\_$ ；数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 所有项的和为
$\_\_\_\_$ ．

18．$\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$b_{n}=\left\{\begin{array}{l}a_{n}-6, n \text { 为奇数 } \\ 2 a_{n}, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$ ，记 $S_{n}, T_{n}$ 分别为数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和， $S_{4}=32, \quad T_{3}=16$.
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：当 $n>5$ 时，$T_{n}>S_{n}$ ．

19．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$a_{2}+a_{5}=16, a_{5}-a_{3}=4$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式和 $\sum_{i=2^{n-1}}^{2^{n}-1} a_{i}$ ．
（2）已知 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列，对于任意 $k \in \mathrm{~N}^{*}$ ，若 $2^{k-1} \leq n \leq 2^{k}-1$ ，则 $b_{k}（I）当 $k \geq 2$ 时，求证： $2^{k}-1（II）求 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和。

5．已知正项等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和，$S_{5}=5 S_{3}-4$ ，则 $S_{4}=()$
A 7
B． 9
C． 15
D． 30

6．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$a_{n+1}=2 S_{n}+2$ ，则 $a_{4}$ 的值为（）

8．记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{4}=-5, S_{6}=21 S_{2}$ ，则 $S_{8}=$（）。

10．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=a_{n}-\frac{1}{3} a_{n}^{2}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，则（ ）

13．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $2 S_{3}=3 S_{2}+6$ ，则公差 $d=$

21．定义 $R_{p}$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}:$ 对实数 $p$ ，满足：①$a_{1}+p \geq 0, a_{2}+p=0$ ；②$\forall n \in N^{*}, a_{4 n-1}（1）对于前 4 项 $2,-2,0,1$ 的数列，可以是 $R_{2}$ 数列吗？说明理由；
（2）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是 $R_{0}$ 数列，求 $a_{5}$ 的值；
（3）是否存在 $p$ ，使得存在 $R_{p}$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，对 $\forall n \in N^{*}, S_{n} \geq S_{10}$ ？若存在，求出所有这样的 $p$ ；若不存在，说明理由。

11．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n}=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$ ，则 $S_{3}=$ $\_\_\_\_$ 10 ．

14．将数列 $\{2 n-1\}$ 与 $\{3 n-2\}$ 的公共项从小到大排列得到数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $\_\_\_\_$。

17．设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+a_{2}=4, a_{3}-a_{1}=8$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；

（2）记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{\log _{3} a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{m}+S_{m+1}=S_{m+3}$ ，求 $m$ ．

18．已知公比大于 1 的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2}+a_{4}=20, a_{3}=8$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；

（2）求 $a_{1} a_{2}-a_{2} a_{3}+\ldots+(-1)^{n-1} a_{n} a_{n+1}$ ．

18．已知公比大于 1 的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2}+a_{4}=20, a_{3}=8$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求 $a_{1} a_{2}-a_{2} a_{3}+\ldots+(-1)^{n-1} a_{n} a_{n+1}$ ．

6．记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{5}-a_{3}=12, a_{6}-a_{4}=24$ ，则 $\frac{S_{n}}{a_{n}}=$

6．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=2, a_{m+n}=a_{m} a_{n}$ ，若 $a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_{k+10}=2^{15}-2^{5}$ ，则 $k=$（ ）

18．设 $\left\{a_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，公比大于 0 ，已知 $a_{1}=b_{1}=3, b_{2}=a_{3}, b_{3}=4 a_{2}+3$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 满足 $c_{n}= \begin{cases}1, & n \text { 为奇数，} \\ b_{\frac{n}{2}} & n \text { 为偶数，求 } a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2}+\cdots+a_{2 n} c_{2 n} \quad\left(n \in N^{*}\right) \text { ．}\end{cases}$

5．已知各项均为正数的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 4 项和为 15 ，且 $a_{5}=3 a_{3}+4 a_{1}$ ，则 $a_{3}=$

14．（5分）记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{n}=2 a_{n}+1$ ，则 $S_{6}=$ $\_\_\_\_$ －63 ．

15．（13分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，且 $a_{1}=\ln 2, a_{2}+a_{3}=5 \ln 2$ ．
（I）求 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）求 $e^{a_{1+e}} a_{2+\ldots+e}^{a_{n}}$ ．

17．（12分）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{5}=4 a_{3}$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）记 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{m}=63$ ，求 $m$ ．

17．（12分）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{5}=4 a_{3}$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）记 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{m}=63$ ，求 $m$ ．

（18）（本小题满分 13 分）
设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right) ;\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，公比大于 0，其前 $n$ 项和为 $T_{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$．已

知 $b_{1}=1, b_{3}=b_{2}+2, b_{4}=a_{3}+a_{5}, b_{5}=a_{4}+2 a_{6}$．
（I）求 $S_{n}$ 和 $T_{n}$；
（II）若 $S_{n}+\left(T_{1}+T_{2}+\ldots+T_{n}\right)=a_{n}+4 b_{n}$，求正整数 $n$ 的值．

13．（6 分）（2016•浙江）设数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，若 $\mathrm{S}_{2}=4, \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=2 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}+1, \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ，则 $\mathrm{a}_{1}=$ $\_\_\_\_$ ， $\mathrm{S}_{5}=$ $\_\_\_\_$。

15．（13分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=b_{1}=1, a_{2}+a_{4}=10, b_{2} b_{4}=a_{5}$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）求和： $\mathrm{b}_{1}+\mathrm{b}_{3}+\mathrm{b}_{5}+\ldots+\mathrm{b}_{2 \mathrm{n}-1}$ ．

17．（12分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $\mathrm{a}_{1}=-1, \quad \mathrm{~b}_{1}=1, \quad \mathrm{a}_{2}+\mathrm{b}_{2}=2$.
（1）若 $a_{3}+b_{3}=5$ ，求 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $T_{3}=21$ ，求 $S_{3}$ ．

17．（12分）记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．已知 $S_{2}=2, S_{3}=-6$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求 $\mathrm{S}_{n}$ ，并判断 $\mathrm{S}_{n+1}, \mathrm{~S}_{n}, \mathrm{~S}_{n+2}$ 是否成等差数列．

19．（12分）已知 $\left\{x_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $x_{1}+x_{2}=3, x_{3}-x_{2}=2$ ．
（I）求数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 $\mathrm{P}_{1}\left(\mathrm{x}_{1}, 1\right), \mathrm{P}_{2}\left(\mathrm{x}_{2}, 2\right) \ldots P_{n+1}\left(x_{n+1}, n+1\right)$ 得到折线 $P_{1}$
$P_{2} \ldots P_{n+1}$ ，求由该折线与直线 $y=0, x=x_{1}, x=x_{n+1}$ 所围成的区域的面积 $T_{n}$ ．

9．（5 分）等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的各项均为实数，其前 n 项为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，已知 $\mathrm{S}_{3}=\frac{7}{4}, \mathrm{~S}_{6}=\frac{63}{4}$ ，则 $\mathrm{a}_{8}=$ $\_\_\_\_$。

15．（13 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，且 $b_{2}=3, b_{3}=9, a_{1}=b_{1}$ ， $a_{14}=b_{4}$.
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $c_{n}=a_{n}+b_{n}$ ，求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

17．（12分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{3}+a_{4}=4, a_{5}+a_{7}=6$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $b_{n}=\left[a_{n}\right]$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 10 项和，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[0.9]=0,[2.6]=2$ 。

20．（15 分）（2016•浙江）设数列满足 $\left|a_{n}-\frac{a_{n+1}}{2}\right| \leq 1, n \in N^{*}$ 。
（I）求证：$\left|a_{n}\right| \geq 2^{n-1}\left(\left|a_{1}\right|-2\right)\left(n \in N^{*}\right)$
（II）若 $\left|a_{n}\right| \leq\left(\frac{3}{2}\right) n, n \in N^{*}$ ，证明：$\left|a_{n}\right| \leq 2, n \in N^{*}$ 。

13．（5分）在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=2, a_{n+1}=2 a_{n}, S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n}=126$ ，则 $\mathrm{n}=$ $\_\_\_\_$ 6。

（14）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增的等比数列，$a_{1}+a_{4}=9, a_{2} a_{3}=8$ ，则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和等于 $\_\_\_\_$ ．

21．（本小题满分 14 分）
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}=4-\frac{n+2}{2^{n-1}}, n \in N^{*}$ ．
（1）求 $a_{3}$ 的值；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 n 项和 Tn ；

（3）令 $\mathrm{b}_{1}=a_{1}, b_{n}=\frac{T_{n-1}}{n}+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right) a_{n}(n \geq 2)$ ，证明：数列 $\left\{\mathrm{b}_{n}\right\}$ 的前 n 项和 $S_{n}$

满足 $S_{n}<2+2 \ln n$

17．（本小题满分 12 分）
等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=4, a_{4}+a_{7}=15$ ．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $b_{n}=2^{a_{n}-2}+n$ ，求 $b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots+b_{10}$ 的值．
．【答案】（I）$a_{n}=n+2$ ；（II） 2101 ．

19．（本小题满分 13 分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1}=1, a_{2}=2$ ，且 $a_{n+1}=3 S_{n} -S_{n+1}+3,\left(n \in N^{*}\right)$,
（I）证明：$a_{n+2}=3 a_{n}$ ；
（II）求 $S_{n}$ 。

5．（5分）已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1}+a_{3}+a_{5}=3$ ，则 $S_{5}=()$

15．（13 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，满足 $a_{1}=3, a_{4}=12$ ，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{1}=4$ ， $b_{4}=20$ ，且 $\left\{b_{n}-a_{n}\right\}$ 为等比数列．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

16．（本小题满分 12 分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=\frac{n^{2}+n}{2}, n \in N^{*} \quad$．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $b_{n}=2^{a_{n}}+(-1)^{n} a_{n}$，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $2 n$ 项和．

8．（5分）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $S_{2}=3, S_{4}=15$ ，则 $S_{6}=()$

10．（5 分）若等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2}+a_{4}=20, a_{3}+a_{5}=40$ ，则公比 $q=$ $\_\_\_\_$ 2 ；前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=$ $\_\_\_\_$ $2^{\mathrm{n}+1}-2$。

11．（5 分）若等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2}+a_{4}=20, a_{3}+a_{5}=40$ ，则公比 $q=$ $\_\_\_\_$ 2 ；前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=$ $\_\_\_\_$ $2^{\mathrm{n}+1}-2$。

（12）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$a_{1}=1$ ，公差 $d \neq 0, S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $a_{1} , a_{2} , a_{5}$ 成等比数列，则 $S_{8}=$ $\_\_\_\_$ ．

（14）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列，$S_{n}$ 是 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{1}, a_{3}$ 是方程 $x^{2}-5 x+4=0$ 的两个根，则 $S_{6}=$

15．设 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和，$S_{n}=(-1)^{n} a_{n}-\frac{1}{2^{n}}, n \in N^{*}$，则
①$a_{3}=$ $\_\_\_\_$；
②$S_{1}+S_{2}+\cdots+S_{100}=$ $\_\_\_\_$。

17．（12分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差不为零，$a_{1}=25$ ，且 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列。
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）求 $a_{1}+a_{4}+a_{7}+\ldots+a_{3 n-2}$ 。

18．（本小题满分 12 分）
已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$\left|a_{2}-a_{3}\right|=10, a_{1} a_{2} a_{3}=125$ ．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）是否存在正整数 $m$ ，使得 $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots \cdots+\frac{1}{a_{n}}>1$ ？若存在，求 $m$ 的最小值；若不存在，说明理由。

6．（5分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $3 a_{n+1}+a_{n}=0, a_{2}=-\frac{4}{3}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 10 项和等于（ ）

6．（5分）设首项为 1 ，公比为 $\frac{2}{3}$ 的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（ ）

7．（5分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $3 a_{n+1}+a_{n}=0, a_{2}=-\frac{4}{3}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 10 项和等于

12．（5分）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}+(-1){ }^{n} a_{n}=2 n-1$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前60项和为（

14．（5分）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3}+3 S_{2}=0$ ，则公比 $q=$ $\_\_\_\_$ －2 ．

16．（5分）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}+(-1){ }^{n} a_{n}=2 n-1$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 60 项和为

$ 1830 $

20．（本小题满分 13 分）
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前三项的和为 -3 ，前三项的积为 8 ．
（1）求等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $\mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{3}, \mathrm{a}_{1}$ 成等比数列，求数列 $\left\{\left|a_{n}\right|\right\}$ 的前 n 项和。

13．等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $S_{n}$ ，公比不为 1 ，若 $a_{1}=1$ ，且对任意的 $n \in N_{+}$，都有 $a_{n+2}+a_{n+1}-2 a_{n}=0$ ，则 $S_{5}=$

11．（5分）（2011•北京）在等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 中， $\mathrm{a}_{1}=\frac{1}{2}, \mathrm{a}_{4}=-4$ ，则公比 $\mathrm{q}=$ $\_\_\_\_$ －2
$;\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\ldots+\left|a_{n}\right|=-2^{n-1}-\frac{1}{2}-$.

17．（12分）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数，且 $2 a_{1}+3 a_{2}=1, a_{3}{ }^{2}=9 a_{2} a_{6}$ ，
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\log _{3} \mathrm{a}_{1}+\log _{3} \mathrm{a}_{2}+\ldots+\log _{3} \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ，求数列 $\left\{\frac{1}{\mathrm{~b}_{\mathrm{n}}}\right\}$ 的前 n 项和。

19．（本小题满分 12 分）
如图，从点 $P_{1}(0,0)$ 做 x 轴的垂线交曲线 $y=e^{x}$ 于点 $Q_{1}(0,1)$ ，曲线在 $Q_{1}$ 点处的切线与 x 轴交于点 $P_{2}$ ，再从 $P_{2}$ 做x轴的垂线交曲线于点 $Q_{2}$ ，依次重复上述过程得到一系列点：
$P_{1}, Q_{1} ; P_{2}, Q_{2} \ldots \ldots ; P_{n}, Q_{n}$ ，记 $P_{k}$ 点的坐标为 $\left(x_{k}, 0\right)(k=1,2, \ldots, n)$ ．
（I）试求 $x_{1}$ 与 $x_{k-1}$ 的关系 $(2 \leq k \leq n)$
（II）求 $\left|P_{1} Q_{1}\right|+\left|P_{2} Q_{2}\right|+\left|P_{3} Q_{3}\right|+\ldots+\left|P_{n} Q_{n}\right|$ ．

20．（本小题满分 14 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足：$b_{n} a_{n}+a_{n+1}+b_{n+1} a_{n+2}=0, b_{n}=\frac{3+(-1)^{n}}{2}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，且 $a_{1}=2, a_{2}=4$.
（I）求 $a_{3}, a_{4}, a_{5}$ 的值；
（II）设 $c_{n}=a_{2 n-1}+a_{2 n+1}, n \in N^{*}$ ，证明：$\left\{c_{n}\right\}$ 是等比数列；
（III）设 $S_{k}=a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{2 k}, k \in N^{*}$ ，证明：$\sum_{k=1}^{4 n} \frac{S_{k}}{a_{k}}<\frac{7}{6}\left(n \in N^{*}\right)$ ．

19．（12分）（2011•陕西）如图，从点 $\mathrm{P}_{1}(0,0)$ 做 x 轴的垂线交曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}$ 于点 $\mathrm{Q}_{1}(0,1$ ），曲线在 $\mathrm{Q}_{1}$ 点处的切线与 x 轴交于点 $\mathrm{P}_{2}$ ，再从 $\mathrm{P}_{2}$ 做 x 轴的垂线交曲线于点 $\mathrm{Q}_{2}$ ，依次重复上述过程得到一系列点： $\mathrm{P}_{1}, \mathrm{Q}_{1} ; \mathrm{P}_{2}, \mathrm{Q}_{2} \ldots ; \mathrm{P}_{\mathrm{n}}, \mathrm{Q}_{\mathrm{n}}$ ，记 $\mathrm{P}_{\mathrm{k}}$ 点的坐标为 $\left(\mathrm{x}_{\mathrm{k}}, 0\right)(\mathrm{k}=1,2$ ， …，n）。
（I）试求 $\mathrm{x}_{\mathrm{k}}$ 与 $\mathrm{x}_{\mathrm{k}-1}$ 的关系（ $2 \leq \mathrm{k} \leq \mathrm{n}$ ）；
（II）求 $\left|\mathrm{P}_{1} \mathrm{Q}_{1}\right|+\left|\mathrm{P}_{2} \mathrm{Q}_{2}\right|+\left|\mathrm{P}_{3} \mathrm{Q}_{3}\right|+\ldots+\left|\mathrm{P}_{\mathrm{n}} \mathrm{Q}_{\mathrm{n}}\right|$ 。

20．（12分）（2011•山东）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中。 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 分别是下表第一、二、三行中的某一个数．且 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 中的任何两个数不在下表的同一列．

（I）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）如数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 满足 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{\mathrm{n}}+(-1){ }^{\mathrm{n}} \ln \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ，求数列 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}$ 的前 n 项和 $\mathrm{s}_{\mathrm{n}}$ 。

4．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，其公差为 -2 ，且 $a_{7}$ 是 $a_{3}$ 与 $a_{9}$ 的等比中项，$S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$n \in N^{*}$ ，则 $S_{10}$ 的值为

（15）设 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等比数列，公比 $q=\sqrt{2}, \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}$ 为 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和。记 $T_{n}=\frac{17 S_{n}-S_{2 n}}{a_{n+1}}, n \in N^{*}$ ．设 $T_{n_{0}}$ 为数列 $\left\{T_{n}\right\}$ 的最大项，则 $n_{0}=$

侧视图

$\_\_\_\_$。

（17）（本小题满分 12 分）
设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{3}=5, a_{10}=-9$ 。

（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 及使得 $S_{n}$ 最大的序号 $n$ 的值。

18．（12分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列 $a_{1}+a_{2}=2\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}\right), a_{3}+a_{4}+a { }_{5}=64\left(\frac{1}{a_{3}}+\frac{1}{a_{4}}+\frac{1}{a_{5}}\right)$
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}}+\frac{1}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}\right)^{2}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ ．

4．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$S_{n}$ 是它的前 $n$ 项和．若 $a_{2} \cdot a_{3}=2 a_{1}$ 且 $a_{4}$ 与 $2 a_{7}$ 的等差中项为 $\frac{5}{4}$ ，则 $S_{5}=$

6．（5分）如果等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{3}+a_{4}+a_{5}=12$ ，那么 $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{7}=$（）

（6）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 1 的等比数列，$s_{n}$ 是 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和，

且 $9 s_{3}=s_{6}$ ，则数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 5 项和为

13．（5分）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $a_{1}=1, S_{6}=4 S_{3}$ ，则 $a_{4}=$ $\_\_\_\_$ 3 ．

13．（4分）（2009•陕西）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{6}=S_{3}=12$ ，则 $a_{n}=$ $\_\_\_\_$ 2n ．

14．（5分）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 的和为 $S_{n}$ ，若 $S_{9}=72$ ，则 $a_{2}+a_{4}+a_{9}=$ $\_\_\_\_$ 24 ．

14．（5分）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{9}=81$ ，则 $a_{2}+a_{5}+a_{8}=$ $\_\_\_\_$ 27 ．

（15）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比 $q>0$ ，已知 $a_{2}=1, a_{n+2}+a_{n+1}=6 a_{n}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 4 项和 $S_{4}=$。

8．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项 $a_{n}=n^{2}\left(\cos ^{2} \frac{n \pi}{3}-\sin ^{2} \frac{n \pi}{3}\right)$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{30}$ 为

（8）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{m-1}+a_{m+1}-a_{m}^{2}=0, S_{2 m-1}=38$ ，则 $m=$

8．公差不为零的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $a_{4}$ 是 $a_{3}$ 与 $a_{7}$ 的等比中项， $S_{8}=32$ ，则 $S_{10}$ 等于

15．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{3^{n+1}}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=$ $\_\_\_\_$ ．

19．（12 分）（2008 • 山东）将数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：$a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6} a_{7} a_{8} a_{9} a_{10} \ldots$ 记表中的第一列数 $a_{1}, a_{2}, a_{4}, a_{7}, \ldots$ 构成的数列为 $\left\{b_{n}\right\}$ ， $b_{1}=a_{1}=1$ ．$S_{n}$ 为数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $\frac{2 b_{n}}{b_{n} S_{n}-S_{n}^{2}}=1 \quad(n \geqslant 2)$ ．
（I）证明数列 $\left\{\frac{1}{\mathrm{~S}_{\mathrm{n}}}\right\}$ 成等差数列，并求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数。当 $\mathrm{a}_{81}=-\frac{4}{91}$ 时，求上表中第 $\mathrm{k}(\mathrm{k} \geq 3)$ 行所有项的和．
$a_{1}$
$a_{2} \quad a_{3}$
$\begin{array}{lll}a_{4} & a_{5} & a_{6}\end{array}$
$\begin{array}{llll}a_{7} & a_{8} & a_{9} & a_{10}\end{array}$

20．（本小题满分 13 分）
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=0, a_{2}=2, a_{n+2}=\left(1+\cos ^{2} \frac{n \pi}{2}\right) a_{n}+4 \sin ^{2} \frac{n \pi}{2}, n=1,2,3, \cdots$,
（I）求 $a_{3}, a_{4}$ ，并求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $S_{k}=a_{1}+a_{3}+\cdots+a_{2 k-1}, T_{k}=a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{2 k}, W_{k}=\frac{2 S_{k}}{2+T_{k}}\left(k \in N^{+}\right)$，
求使 $W_{k}>1$ 的所有 k 的值，并说明理由。

5．（5分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2}+a_{4}=4, a_{3}+a_{5}=10$ ，则它的前 10 项的和 $S_{10}=$（ ）

（6）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列，$a_{2}=2, a_{5}=\frac{1}{4}$ ，则 $a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{n} a_{n+1}=$

（7）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=6, a_{5}=15$ ．若 $b_{n}=a_{2 n}$ ，则数列 $\{b \left.{ }_{n}\right\}$ 的前 5 项和等于

8、设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比 $q=2$ ，前 n 项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{S_{4}}{a_{2}}=$