若 a , b R ,对 x [ - 2 , 2 ] ,均…——2025 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
-4

【分析】先设 $t = 2 a + b$ ，根据不等式的形式，为了消a可以取 $\scriptstyle { x = - { \frac { 1 } { 2 } } }$ ,得到 $t { \geq } - 4$ ，验证t=—4时，a，b是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.
设 $t = 2 a + b$ ，原题转化为求t的最小值，

原不等式可化为对任意的 $- 2 \leqslant x \leqslant 2 , t x ^ { 2 } + ( t - 2 a ) x - a - 1 \leqslant 0$

不妨代入 $\scriptstyle { x = - { \frac { 1 } { 2 } } }$ ,得 $\frac { 1 } { 4 } t - \frac { 1 } { 2 } \left( t - 2 a \right) - a - 1 \leqslant 0$ ,得 $t { \geq } - 4$

当 $t = - 4$ 时，原不等式可化为 $- 4 x ^ { 2 } + ( - 4 - 2 a ) x - a - 1 \leqslant 0$

即 $- \Bigl [ 2 x + \Bigl ( \frac { 1 } { 2 } a + 1 \Bigr ) \Bigr ] ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } a ^ { 2 } \leqslant 0$

观察可知，当 $a = 0$ 时， $- ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } \leqslant 0$ 对 $- 2 \leqslant x \leqslant 2$ 一定成立，当且仅当 $\scriptstyle { x = - { \frac { 1 } { 2 } } }$ 取等号，此时， $a = 0 , b = - 4$ ,说明 $t = - 4$ 时，a，b均可取到，满足题意，

故 $t = 2 a + b$ 的最小值为-4.

故答案为：-4