2010 全国高考数学 2010_旧全国 I 卷 (2010·文) 第 8 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

8．（5分）已知 $F_{1} 、 F_{2}$ 为双曲线 $C: x^{2}-y^{2}=1$ 的左、右焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，$\angle F_{1} P F_{2}=6 0^{\circ}$ ，则 $\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|=$（ ）

Accepted Answer

B

【考点】HR：余弦定理； KA ：双曲线的定义； KC ：双曲线的性质． 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求 $\left|P F_{1}ight| \bullet\left|P F_{2}ight|$ 的值． 解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出 $\mid P F_{1} |\cdot| P F_{2} \mid$ 的值。 【解答】解：法1．由双曲线方程得 $a=1, b=1, c=\sqrt{2}$ ， 由余弦定理得 $$ \begin{aligned} & \cos \angle \mathrm{F}_{1} \mathrm{PF}_{2}=\frac{\left|\mathrm{PF}_{1}ight|^{2}+\left|\mathrm{PF}_{2}ight|^{2}-\left|\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}ight|^{2}}{2\left|\mathrm{PF}_{1}ight|\left|\mathrm{PF}_{2}ight|} \ & \quad \Rightarrow \cos 60^{\circ}=\frac{\left(\left|\mathrm{PF}_{1}ight|-\left|\mathrm{PF}_{2}ight|ight)^{2}+2\left|\mathrm{PF}_{1}ight|\left|\mathrm{PF}_{2}ight|-\left|\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}ight|^{2}}{2\left|\mathrm{PF}_{1}ight|\left|\mathrm{PF}_{2}ight|} \Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{2^{2}+2\left|\mathrm{PF}_{1}ight|\left|\mathrm{PF}_{2}ight|-(2 \sqrt{2})^{2}}{2\left|\mathrm{PF}_{1}ight|\left|\mathrm{PF}_{2}ight|} \end{aligned} $$ $	herefore\left|P F_{1}ight| \bullet\left|P F_{2}ight|=4$ ． 法2； 由焦点三角形面积公式得： $$ S_{	riangle F_{1} P F_{2}}=b^{2} \cot \frac{	heta}{2}=1^{2} \cot \frac{60^{\circ}}{2}=\sqrt{3}=\frac{1}{2}\left|P F_{1}ight|\lef…

2010 高考数学第 8 题答案解析

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