（5分）已知 F_ 1、 F_ 2 为双曲线 C: x^…——2010 高考数学第 8 题答案解析

【考点】HR：余弦定理； KA ：双曲线的定义； KC ：双曲线的性质．
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求 $\left|P F_{1}\right| \bullet\left|P F_{2}\right|$ 的值．
解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出 $\mid P F_{1} |\cdot| P F_{2} \mid$ 的值。

【解答】解：法1．由双曲线方程得 $a=1, b=1, c=\sqrt{2}$ ，
由余弦定理得

$$ \begin{aligned} & \cos \angle \mathrm{F}_{1} \mathrm{PF}_{2}=\frac{\left|\mathrm{PF}_{1}\right|^{2}+\left|\mathrm{PF}_{2}\right|^{2}-\left|\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}\right|^{2}}{2\left|\mathrm{PF}_{1}\right|\left|\mathrm{PF}_{2}\right|} \\ & \quad \Rightarrow \cos 60^{\circ}=\frac{\left(\left|\mathrm{PF}_{1}\right|-\left|\mathrm{PF}_{2}\right|\right)^{2}+2\left|\mathrm{PF}_{1}\right|\left|\mathrm{PF}_{2}\right|-\left|\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}\right|^{2}}{2\left|\mathrm{PF}_{1}\right|\left|\mathrm{PF}_{2}\right|} \Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{2^{2}+2\left|\mathrm{PF}_{1}\right|\left|\mathrm{PF}_{2}\right|-(2 \sqrt{2})^{2}}{2\left|\mathrm{PF}_{1}\right|\left|\mathrm{PF}_{2}\right|} \end{aligned} $$