已知正四棱锥的侧棱长为 l，其各顶点都在同一球面上．若该球…——2022 高考数学第 8 题答案解析

【答案】C
【解析】
【分析】设正四棱锥的高为 $h$ ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围．

【详解】 ∵ 球的体积为 $36 \pi$ ，所以球的半径 $R=3$ ，
设正四棱锥的底面边长为 $2 a$ ，高为 $h$ ，
则 $l^{2}=2 a^{2}+h^{2}, 3^{2}=2 a^{2}+(3-h)^{2}$ ，
所以 $6 h=l^{2}, 2 a^{2}=l^{2}-h^{2}$
所以正四棱锥的体积 $V=\frac{1}{3} S h=\frac{1}{3} \times 4 a^{2} \times h=\frac{2}{3} \times\left(l^{2}-\frac{l^{4}}{36}\right) \times \frac{l^{2}}{6}=\frac{1}{9}\left(l^{4}-\frac{l^{6}}{36}\right)$ ，
所以 $V^{\prime}=\frac{1}{9}\left(4 l^{3}-\frac{l^{5}}{6}\right)=\frac{1}{9} l^{3}\left(\frac{24-l^{2}}{6}\right)$ ，
当 $3 \leq l \leq 2 \sqrt{6}$ 时，$V^{\prime}>0$ ，当 $2 \sqrt{6}<l \leq 3 \sqrt{3}$ 时，$V^{\prime}<0$ ，
所以当 $l=2 \sqrt{6}$ 时，正四棱锥的体积 $V$ 取最大值，最大值为 $\frac{64}{3}$ ，
又 $l=3$ 时，$V=\frac{27}{4}, l=3 \sqrt{3}$ 时，$V=\frac{81}{4}$ ，
所以正四棱锥的体积 $V$ 的最小值为 $\frac{27}{4}$ ，
所以该正四棱锥体积的取值范围是 $\left[\frac{27}{4}, \frac{64}{3}\right]$ ．
故选：C．

二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．