设 a_ n 是公比不为 1 的等比数列， a_ 1 为…——2020 高考数学第 17 题答案解析

## 【答案】（1）-2 ；②$S_{n}=\frac{1-(1+3 n)(-2)^{n}}{9}$ ．

## 【解析】

【分析】
①由已知结合等差中项关系，建立公比 $q$ 的方程，求解即可得出结论；
②由①结合条件得出 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项，根据 $\left\{n a_{n}\right\}$ 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论。

【详解】①设 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q, a_{1}$ 为 $a_{2}, a_{3}$ 的等差中项，
$\because 2 a_{1}=a_{2}+a_{3}, a_{1} \neq 0, \therefore q^{2}+q-2=0$,

$\because q \neq 1, \therefore q=-2 ;$
②设 $\left\{n a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=1, a_{n}=(-2)^{n-1}$ ，

$$ \begin{aligned} & S_{n}=1 \times 1+2 \times(-2)+3 \times(-2)^{2}+\cdots+n(-2)^{n-1}, \\ & -2 S_{n}=1 \times(-2)+2 \times(-2)^{2}+3 \times(-2)^{3}+\cdots(n-1)(-2)^{n-1}+n(-2)^{n}, \end{aligned} $$

①－②得， $3 S_{n}=1+(-2)+(-2)^{2}+\cdots+(-2)^{n-1}-n(-2)^{n}$
$=\frac{1-(-2)^{n}}{1-(-2)}-n(-2)^{n}=\frac{1-(1+3 n)(-2)^{n}}{3}$ ，
$\therefore S_{n}=\frac{1-(1+3 n)(-2)^{n}}{9}$ ．
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和 ，考查计算求解能力，属于基础题．