2026_新课标 II 卷
11.已知抛物线 $E : y ^ { 2 } = 8 x$ ，斜率k(k>0)的直线l过点 $( 1 , 0 ) , \triangle A B C$ 为等边三角形,A在y轴上,B,C在l上,则A. 抛物线准线方程为 $x = - 2$ B. l与y轴交点为 $( 0 , - k )$ C. 若l与E相交于唯一点B,则抛物线焦点在 D. $k = 2$ 时, $\triangle A B C$ 面积最小值为 $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ 直线AB上
11. $E \colon y ^ { 2 } = 8 x$ ,斜率为 $k ( k > 0 )$ 的直线�过点 $( - 1 , O ) , \triangle A B C$ 为等边三角形,�在 $y ^ { 2 } =$ 8� 上, �, � 在 � 上。
ABD
【答案】ABD
【解析】
**方法一**：
由 $y ^ { 2 } = 4 p x$ 得 � = 2 ,准线为 $x = - 2 , A$ 正确。
直线�为 $y = k ( x + 1 )$ 。联立 $y ^ { 2 } = 8 x$ 得 $k ^ { 2 } x ^ { 2 } + ( 2 k ^ { 2 } - 8 ) x + k ^ { 2 } = 0$
$\Delta = \left( 2 k ^ { 2 } - \vartheta \right) ^ { 2 } - 4 k ^ { 4 } = 3 2 ( 2 - k ^ { 2 } )$ 。所以无交点时 $k > { \sqrt { 2 } }$ ，�正确。
若唯一交点为�,则 $k = { \sqrt { 2 } }$ ,切点 $B \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( 1 , 2 \sqrt { 2 } \aftergroup \egroup \right)$ ,焦点 $F ( 2 , 0 )$ 。此时��的斜率为 $- 2 \sqrt { 2 }$ , �的斜率为 $\sqrt { 2 }$ ,两直线夹角�满足 $\tan \theta = { \sqrt { 2 } } \neq { \sqrt { 3 } } = \tan 6 0 ^ { \circ }$ 。而 $B , C$ 在�上且 $\triangle A B C$ 为等边三角形，直线��与�的夹角必须为 $6 \theta ^ { \circ }$ ，故焦点不在直线��上，�错。
当 $k = 2$ 时, $l { : } y = 2 x + 2$ 。设 $A \left( { \frac { t ^ { 2 } } { 8 } } , t \right)$ ,则点�到�的距离
$\begin{array} { r } { d = \frac { \left| \frac { t ^ { 2 } } { 4 } - t + 2 \right| } { \sqrt { 5 } } = \frac { \frac { ( t - 2 ) ^ { 2 } } { 4 } + 1 } { \sqrt { 5 } } \geq \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } } \end{array}$ 。等边三角形以��为底时, $S = \frac { d ^ { 2 } } { \sqrt { 3 } }$ ,所以
$S _ { \mathrm { m i n } } = \frac { 1 } { 5 \sqrt { 3 } } = \frac { \sqrt { 3 } } { 1 5 }$ ，D正确。
故选 ABD.
**方法二**：
抛物线 $y ^ { 2 } = 8 x$ 即 $y ^ { 2 } = 4 p x$ ,故 $p = 2$ ,准线 $x = - 2 , \mathtt { A }$ 正确。
用参数 $P ( u ) = ( 2 u ^ { 2 } , 4 u )$ ,切线为 $u y = x + 2 u ^ { 2 }$ 。过 $( - \imath , 0 )$ 时有 $O = - \ 1 + 2 u ^ { 2 }$ ,由 $k >$ 0 取 $u = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } }$ ，临界斜率 $k = \frac { 1 } { u } = \sqrt { 2 }$ 。斜率更大时与抛物线无交点，B正确。
临界切点仍为 $B \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( 1 , 2 \sqrt { 2 } \aftergroup \egroup \right)$ 。若焦点 $F ( 2 , 0 )$ 在��上，则��就是��。因为��与�重合,必有 $\angle F B C = 6 0 ^ { \circ }$ 。但由斜率直接得 $\tan \angle ( B F , l ) = \sqrt { 2 } \neq \sqrt { 3 }$ ,矛盾,C错。
面积秒杀点:等边三角形的面积只由顶点�到直线�的距离�决定， $S = \frac { d ^ { 2 } } { \sqrt { 3 } }$ 。当 $k =$ 2时,与�平行的抛物线切线给出最小距离。由 $\begin{array} { r } { y ^ { ' } = \frac { 4 } { y } = 2 } \end{array}$ 得 $A \left( { \frac { 1 } { 2 } } , 2 \right)$ ,于是 $d = \frac { 1 } { \sqrt { 5 } }$ $S _ { \mathrm { m i n } } = \frac { \sqrt { 3 } } { 1 5 }$ ,D正确。
故选 ABD.