（14分）（2009 •陕西）已知数列 x _ n 满足…——2009 高考数学第 22 题答案解析

【考点】数列的函数特性；数学归纳法．
【专题】证明题；压轴题．
【分析】①对于数列 $\left\{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的单调性的证明，我们可以根据数列的前若干项，归纳推理出数列的单调性，然后再利用数学归纳法进行证明．
②我们可以将待证的问题进行转化，变形成
$\left|x_{n+1}-x_{n}\right|=\left|\frac{1}{1+x_{n}}-\frac{1}{1+x_{n-1}}\right|=\frac{\left|x_{n}-x_{n-1}\right|}{\left(1+x_{n}\right)\left(1+x_{n-1}\right)}$ 的形式，然后结合已知条件进行证明．
【解答】证明：①由 $\mathrm{x}_{1}=\frac{1}{2}, \mathrm{x}_{\mathrm{n}+1}=\frac{1}{1+\mathrm{x}_{\mathrm{n}}}$ ，

$\therefore x_{2}=\frac{2}{3}, \quad x_{3}=\frac{3}{5}, \quad x_{4}=\frac{5}{8}, \quad x_{5}=\frac{8}{13}, \quad x_{6}=\frac{13}{21}, \ldots$
由 $\mathrm{x}_{2}>\mathrm{x}_{4}>\mathrm{x}_{6}$ 猜想：数列 $\left\{\mathrm{x}_{2 \mathrm{n}}\right\}$ 是递减数列
下面用数学归纳法证明：
（1）当 $n=1$ 时，已证命题成立
②假设当 $n=k$ 时命题成立，即 $x_{2 k}>x_{2 k+2}$
易知 $\mathrm{x}_{2 \mathrm{k}}>0$ ，那么 $\mathrm{x}_{2 \mathrm{k}+2}-\mathrm{x}_{2 \mathrm{k}+4}=\frac{1}{1+\mathrm{x}_{2 \mathrm{k}+1}}-\frac{1}{1+\mathrm{x}_{2 \mathrm{k}+3}}=\frac{\mathrm{x}_{2 \mathrm{k}+3}-\mathrm{x}_{2 \mathrm{k}+1}}{\left(1+\mathrm{x}_{2 \mathrm{k}+1}\right)\left(1+\mathrm{x}_{2 \mathrm{k}+3}\right)}$
$=\frac{x_{2 k}-x_{2 k+2}}{\left(1+x_{2 k}\right)\left(1+x_{2 k+1}\right)\left(1+x_{2 k+2}\right)\left(1+x_{2 k+3}\right)}>0$
即 $\mathrm{X}_{2(\mathrm{k}+1)}>\mathrm{X}_{2}(\mathrm{k}+1)+2$
也就是说，当 $\mathrm{n}=\mathrm{k}+1$ 时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立
（2）当 $n=1$ 时，$\left|x_{n+1}-x_{n}\right|=\left|x_{2}-x_{1}\right|=\frac{1}{6}$ ，结论成立
当 $n \geq 2$ 时，易知 $0$\therefore 1+\mathrm{x}_{\mathrm{n}-1}<2, \quad \mathrm{x}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{1+\mathrm{x}_{\mathrm{n}-1}}>\frac{1}{2}$
$\therefore\left(1+x_{n}\right)\left(1+x_{n-1}\right)=\left(1+\frac{1}{1+x_{n-1}}\right)\left(1+x_{n-1}\right)=2+x_{n-1} \geqslant \frac{5}{2}$
$\therefore\left|x_{n+1}-x_{n}\right|=\left|\frac{1}{1+x_{n}}-\frac{1}{1+x_{n-1}}\right|=\frac{\left|x_{n}-x_{n-1}\right|}{\left(1+x_{n}\right)\left(1+x_{n-1}\right)}$
$\leqslant \frac{2}{5}\left|x_{n}-x_{n-1}\right| \leqslant\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\left|x_{n-1}-x_{n-2}\right| \leqslant \cdots \leqslant\left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}\left|x_{2}-x_{1}\right|$
$=\frac{1}{6}\left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}$
【点评】本题（1）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集 N 相关的性质，其步骤为：设 $\mathrm{P}(\mathrm{n})$ 是关于自然数 n 的命题，若1）（奠基）
$\mathrm{P}(\mathrm{n})$ 在 $\mathrm{n}=1$ 时成立；2）（归纳）
在 $\mathrm{P}(\mathrm{k})$（k为任意自然数）成立的假设下可以推出 $\mathrm{P}(\mathrm{k}+1)$ 成立，则 $\mathrm{P}(\mathrm{n})$ 对一切自然数 n 都成立。