2009 ??高考数学 2009_退役省自主命题 (2009·理) 第 22 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

22．（14分）（2009 •陕西）已知数列 $\left\{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right\}$ 满足 $\mathrm{x}_{1}=\frac{1}{2}, \mathrm{x}_{\mathrm{n}+1}=\frac{1}{1+\mathrm{x}_{\mathrm{n}}}, \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ；
（1）猜想数列 $\left\{x_{2 n}\right\}$ 的单调性，并证明你的结论；
（II）证明：$\left|x_{n+1}-x_{n}\right| \leqslant \frac{1}{6}\left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}$ ．

Accepted Answer

【考点】数列的函数特性；数学归纳法． 【专题】证明题；压轴题． 【分析】①对于数列 $\left\{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}ight\}$ 的单调性的证明，我们可以根据数列的前若干项，归纳推理出数列的单调性，然后再利用数学归纳法进行证明． ②我们可以将待证的问题进行转化，变形成 $\left|x_{n+1}-x_{n}ight|=\left|\frac{1}{1+x_{n}}-\frac{1}{1+x_{n-1}}ight|=\frac{\left|x_{n}-x_{n-1}ight|}{\left(1+x_{n}ight)\left(1+x_{n-1}ight)}$ 的形式，然后结合已知条件进行证明． 【解答】证明：①由 $\mathrm{x}_{1}=\frac{1}{2}, \mathrm{x}_{\mathrm{n}+1}=\frac{1}{1+\mathrm{x}_{\mathrm{n}}}$ ， $	herefore x_{2}=\frac{2}{3}, \quad x_{3}=\frac{3}{5}, \quad x_{4}=\frac{5}{8}, \quad x_{5}=\frac{8}{13}, \quad x_{6}=\frac{13}{21}, \ldots$ 由 $\mathrm{x}_{2}>\mathrm{x}_{4}>\mathrm{x}_{6}$ 猜想：数列 $\left\{\mathrm{x}_{2 \mathrm{n}}ight\}$ 是递减数列 下面用数学归纳法证明： （1）当 $n=1$ 时，已证命题成立 ②假设当 $n=k$ 时命题成立，即 $x_{2 k}>x_{2 k+2}$ 易知 $\mathrm{x}_{2 \mathrm{k}}>0$ ，那么 $\mathrm{x}_{2 \mathrm{k}+2}-\mathrm{x}_{2 \mathrm{k}+4}=\frac{1}{1+\mathrm{x}_{2 \mathrm{k}+1}}-\frac{1}{1+\mathrm{x}_{2 \mathrm{k}+3}}=\frac{\mathrm{x}_{2 \mathrm{k}+3}-\mathrm{x}_{2 \mathrm{k}+1}}{\left(1+\mathrm{x}_{2 \mathrm{k}+1}ight)\left(1+\mathrm{x}_{2 \mathrm{k}+3}ight)}$ $=\frac{x_{2 k}-x_{2 k+2}}{\left(1+x_{2 k}ight)\left(1+x_{2 k+1}ight)\left(1+x_{2 k+2}ight)\left(1+x_{2 k+3}ight)}>0$…

2009 高考数学第 22 题答案解析

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