2019_江苏卷 (2019)
22．（本小题满分 10 分）设 $(1+x)^{n}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n}, n \ldots 4, n \in \mathbf{N}^{*}$ 。已知 $a_{3}^{2}=2 a_{2} a_{4}$ ．
（1）求 $n$ 的值；
②设 $(1+\sqrt{3})^{n}=a+b \sqrt{3}$ ，其中 $a, b \in \mathbf{N}^{*}$ ，求 $a^{2}-3 b^{2}$ 的值．
【解答】
设 $(1+x)^{n}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n}, n \ldots 4, n \in \mathbf{N}^{*}$ 。已知 $a_{3}^{2}=2 a_{2} a_{4}$ 。
（1）求 $n$ 的值；
②设 $(1+\sqrt{3})^{n}=a+b \sqrt{3}$ ，其中 $a, b \in \mathbf{N}^{*}$ ，求 $a^{2}-3 b^{2}$ 的值．
【答案】①$n=5$ ；
（2）-32 ．
【解析】
【分析】
（1）首先由二项式展开式的通项公式确定 $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 的值，然后求解关于 $n$ 的方程可得 $n$ 的值；
（2）解法一：利用①中求得的 $n$ 的值确定有理项和无理项从而可得 $a, b$ 的值，然后计算 $a^{2}-3 b^{2}$ 的值即可；
解法二：利用①中求得的 $n$ 的值，由题意得到 $(1-\sqrt{3})^{5}$ 的展开式，最后结合平方差公式即可确定 $a^{2}-3 b^{2}$的值。
【详解】（1）因为 $(1+x)^{n}=\mathrm{C}_{n}^{0}+\mathrm{C}_{n}^{1} x+\mathrm{C}_{n}^{2} x^{2}+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{n} x^{n}, n \geq 4$ ，
所以 $a_{2}=\mathrm{C}_{n}^{2}=\frac{n(n-1)}{2}, a_{3}=\mathrm{C}_{n}^{3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ ，
$a_{4}=\mathrm{C}_{n}^{4}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$ ．
因为 $a_{3}^{2}=2 a_{2} a_{4}$ ，
所以 $\left[\frac{n(n-1)(n-2)}{6}\right]^{2}=2 \times \frac{n(n-1)}{2} \times \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$ ，
解得 $n=5$ ．
②由①知，$n=5$ ．
$(1+\sqrt{3})^{n}=(1+\sqrt{3})^{5}$
$=\mathrm{C}_{5}^{0}+\mathrm{C}_{5}^{1} \sqrt{3}+\mathrm{C}_{5}^{2}(\sqrt{3})^{2}+\mathrm{C}_{5}^{3}(\sqrt{3})^{3}+\mathrm{C}_{5}^{4}(\sqrt{3})^{4}+\mathrm{C}_{5}^{5}(\sqrt{3})^{5}$
$=a+b \sqrt{3}$.
## 解法一：
因为 $a, b \in \mathbf{N}^{*}$ ，所以 $a=\mathrm{C}_{5}^{0}+3 \mathrm{C}_{5}^{2}+9 \mathrm{C}_{5}^{4}=76, b=\mathrm{C}_{5}^{1}+3 \mathrm{C}_{5}^{3}+9 \mathrm{C}_{5}^{5}=44$ ，
从而 $a^{2}-3 b^{2}=76^{2}-3 \times 44^{2}=-32$ ．
## 解法二：
$(1-\sqrt{3})^{5}=\mathrm{C}_{5}^{0}+\mathrm{C}_{5}^{1}(-\sqrt{3})+\mathrm{C}_{5}^{2}(-\sqrt{3})^{2}+\mathrm{C}_{5}^{3}(-\sqrt{3})^{3}+\mathrm{C}_{5}^{4}(-\sqrt{3})^{4}+\mathrm{C}_{5}^{5}(-\sqrt{3})^{5}$
$=\mathrm{C}_{5}^{0}-\mathrm{C}_{5}^{1} \sqrt{3}+\mathrm{C}_{5}^{2}(\sqrt{3})^{2}-\mathrm{C}_{5}^{3}(\sqrt{3})^{3}+\mathrm{C}_{5}^{4}(\sqrt{3})^{4}-\mathrm{C}_{5}^{5}(\sqrt{3})^{5}$.
因为 $a, b \in \mathbf{N}^{*}$ ，所以 $(1-\sqrt{3})^{5}=a-b \sqrt{3}$ ．
因此 $a^{2}-3 b^{2}=(a+b \sqrt{3})(a-b \sqrt{3})=(1+\sqrt{3})^{5} \times(1-\sqrt{3})^{5}=(-2)^{5}=-32$ ．
【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力．