二项式定理　·　历年高考数学真题与解析

12．已知 $(1-2 x)^{4}=a_{0}-2 a_{1} x+4 a_{2} x^{2}-8 a_{3} x^{3}+16 a_{4} x^{4}$ ，则 $a_{0}=$ $\_\_\_\_$; a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=$ $\_\_\_\_$．

12.已知 $( 1 - 2 x ) ^ { 4 } = a _ { 0 } - 2 a _ { 1 } x + 4 a _ { 2 } x ^ { 2 } - 8 a _ { 3 } x ^ { 3 } + 1 6 a _ { 4 } x ^ { 4 }$ ,则 $a _ { 0 } =$ $a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 4 } =$

4．在二项式 $(2 x-1)^{5}$ 的展开式中，$x^{3}$ 的系数为 $\_\_\_\_$．

4．$(x-\sqrt{x})^{4}$ 的二项展开式中 $x^{3}$ 的系数为

12．已知多项式 $(x+2)(x-1)^{4}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+a_{4} x^{4}+a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{2}=$ $\_\_\_\_$ ，
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=$ $\_\_\_\_$。

8．若 $(2 x-1)^{4}=a_{4} x^{4}+a_{3} x^{3}+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0}$ ，则 $a_{0}+a_{2}+a_{4}=()$

13.

已知多项式 $(x-1)^{3}+(x+1)^{4}=x^{4}+a_{1} x^{3}+a_{2} x^{2}+a_{3} x+a_{4}$ ，则 $a_{1}=$ $\_\_\_\_$ ，$a_{2}+a_{3}+a_{4}=$ $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$ ．

7．已知 $(1+x)^{n}$ 的展开式中，唯有 $x^{3}$ 的系数最大，则 $(1+x)^{n}$ 的系数和为 $\_\_\_\_$ 64 ．
【思路分析】由已知可得 $n=6$ ，令 $x=1$ ，即可求得系数和．

22．（本小题满分 10 分）设 $(1+x)^{n}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n}, n \ldots 4, n \in \mathbf{N}^{*}$ 。已知 $a_{3}^{2}=2 a_{2} a_{4}$ ．
（1）求 $n$ 的值；
②设 $(1+\sqrt{3})^{n}=a+b \sqrt{3}$ ，其中 $a, b \in \mathbf{N}^{*}$ ，求 $a^{2}-3 b^{2}$ 的值．

7．在 $\left(x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{6}$ 的二项展开式中，常数项的值为 $\_\_\_\_$

9．若 $\left(x+\frac{2}{x}\right)^{n}$ 的二项展开式的各项系数之和为 729 ，则该展开式中常数项的值为 $\_\_\_\_$ ；

11、在 $\left(1+x+\frac{1}{x^{2015}}\right)^{10}$ 的展开式中，$x^{2}$ 项的系数为 $\_\_\_\_$ （结果用数值表示）。

11．在 $\left(2 x+\frac{1}{x^{2}}\right)^{6}$ 的二项式中，常数项等于 $\_\_\_\_$ （结果用数值表示）。

12．$\left(x^{3}+\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)^{5}$ 的展开式中 $x^{8}$ 的系数是 $\_\_\_\_$ （用数字作答）．

3．已知 $(1+x)^{n}$ 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为

13．（5分）$(x-y)(x+y)^{8}$ 的展开式中 $x^{2} y^{7}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ －20
－（用数字填写答案）

2．在 $x(1+x)^{6}$ 的展开式中，含 $x^{3}$ 项的系数为

4．$\left(\frac{1}{2} x-2 y\right)^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 的系数是（ ）

5．（5分）已知 $(1+\mathrm{ax})(1+\mathrm{x})^{5}$ 的展开式中 $\mathrm{x}^{2}$ 的系数为5，则 $\mathrm{a}=$（ ）

5．（5分）$(x+2)^{8}$ 的展开式中 $x^{6}$ 的系数是（ ）

9．（5分）设 $m$ 为正整数，（ $x+y$ ）${ }^{2 m}$ 展开式的二项式系数的最大值为 $a, ~(x+y 2 m+1$ 展开式的二项式系数的最大值为 $b$ ，若 $13 a=7 b$ ，则 $m=$

10．$\left(x^{2}+\frac{1}{x}\right)^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ ．（用数字作答）

6．$(2-\sqrt{x})^{8}$ 展开式中不含 $x^{4}$ 项的系数的和为

（14）$\left(2 x-\frac{1}{2 x}\right)^{6}$ 的展开式的常数项是 $\_\_\_\_$ ．（用数字

作答）

4．（2009 浙江理 4）在二项式 $\left(x^{2}-\frac{1}{x}\right)^{5}$ 的展开式中，含 $x^{4}$ 的项的系数是（）。

6．若 $C_{n}^{1} x+C_{n}^{2} x^{2}+\cdots+C_{n}^{n} x^{n}$ 能被 7 整除，则 $x, n$ 的值可能为

7．$(1+a x+b y)^{n}$ 展开式中不含 $x$ 的项的系数绝对值的和为 243 ，不含 $y$ 的项的系数绝对值的和为 32 ，则 $a, b, n$ 的值可能为

13．（4分）$(2008 \bullet$ 四川 $)(1+2 \mathrm{x})^{3}(1-\mathrm{x})^{4}$ 展开式中 $\mathrm{x}^{2}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ － 6 ．

13．记 $\left(2 x+\frac{1}{x}\right)^{n}$ 的展开式中第 m 项的系数为 $b_{m}$ ，若 $b_{3}=2 b_{4}$ ，则 $n=$ $\_\_\_\_$ ．

（6）在 $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ 的展开式中，含 $x^{4}$ 的项的系数是

8．$(1+\sqrt[3]{x})^{6}\left(1+\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^{10}$ 展开式中的常数项为

9．（5分）$(1-\sqrt{x})^{4}(1+\sqrt{x})^{4}$ 的展开式中 $x$ 的系数是（ ）