已知 O 为坐标原点，点 A(1,1) 在抛物线 C: x…——2022 高考数学第 11 题答案解析

【答案】BCD
【解析】
【分析】求出抛物线方程可判断 A ，联立 $A B$ 与抛物线的方程求交点可判断 B ，利用距离

公式及弦长公式可判断 C、D．
【详解】将点 A 的代入抛物线方程得 $1=2 p$ ，所以抛物线方程为 $x^{2}=y$ ，故准线方程为 $y=-\frac{1}{4}, ~ \mathrm{~A}$ 错误；
$k_{A B}=\frac{1-(-1)}{1-0}=2$ ，所以直线 $A B$ 的方程为 $y=2 x-1$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}y=2 x-1 \\ x^{2}=y\end{array}\right.$ ，可得 $x^{2}-2 x+1=0$ ，解得 $x=1$ ，故 B 正确；
设过 $B$ 的直线为 $l$ ，若直线 $l$ 与 $y$ 轴重合，则直线 $l$ 与抛物线 $C$ 只有一个交点，
所以，直线 $l$ 的斜率存在，设其方程为 $y=k x-1, P\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}y=k x-1 \\ x^{2}=y\end{array}\right.$ ，得 $x^{2}-k x+1=0$ ，
所以 $\left\{\begin{array}{c}\Delta=k^{2}-4>0 \\ x_{1}+x_{2}=k \\ x_{1} x_{2}=1\end{array}\right.$ ，所以 $k>2$ 或 $k<-2, y_{1} y_{2}=\left(x_{1} x_{2}\right)^{2}=1$ ，
又 $|O P|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}=\sqrt{y_{1}+y_{1}^{2}},|O Q|=\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}=\sqrt{y_{2}+y_{2}^{2}}$ ，
所以 $|O P| \cdot|O Q|=\sqrt{y_{1} y_{2}\left(1+y_{1}\right)\left(1+y_{2}\right)}=\sqrt{k x_{1} \times k x_{2}}=|k|>2=|O A|^{2}$ ，故 C 正确；
因为 $|B P|=\sqrt{1+k^{2}}\left|x_{1}\right|,|B Q|=\sqrt{1+k^{2}}\left|x_{2}\right|$ ，
所以 $|B P| \cdot|B Q|=\left(1+k^{2}\right)\left|x_{1} x_{2}\right|=1+k^{2}>5$ ，而 $|B A|^{2}=5$ ，故 D 正确．
故选：BCD