2015_江苏卷 (2015)
26．（10分）（2015•江苏）已知集合 $\mathrm{X}=\{1,2,3\}, \mathrm{Y}_{\mathrm{n}}=\{1,2,3, \ldots, \mathrm{n}) ~\left(\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}\right)$ ，设 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\left\{(\mathrm{a}, \mathrm{b}) \mid \mathrm{a}\right.$ 整除 b 或整除 $\left.\mathrm{a}, ~ \mathrm{a} \in \mathrm{X}, ~ \mathrm{~B} \in \mathrm{Y}_{\mathrm{n}}\right\}$ ，令 $\mathrm{f}(\mathrm{n})$ 表示集合 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 所含元素的个数。
（1）写出 f （6）的值；
（2）当 $n \geq 6$ 时，写出 $f(n)$ 的表达式，并用数学归纳法证明．
## 2015年江苏省高考数学试卷
【解答】
（10分）
考点 数学归纳法．
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专题 综合题；点列、递归数列与数学归纳法．
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分析
（1） $\mathrm{f}(6)=6+2+\frac{6}{2}+\frac{6}{3}=13$ ；
（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．
解答
解：① $\mathrm{f}(6)=6+2+\frac{6}{2}+\frac{6}{3}=13$ ；
②当 $n \geq 6$ 时，$f(n)=\left\{\begin{array}{l}n+2+\left(\frac{n}{2}+\frac{n}{3}\right), n=6 t \\ n+2+\left(\frac{n-1}{2}+\frac{n-1}{3}\right), n=6 t+1 \\ n+2+\left(\frac{n}{2}+\frac{n-2}{3}\right), n=6 t+2 \\ n+2+\left(\frac{n-1}{2}+\frac{n}{3}\right), n=6 t+3 \\ n+2+\left(\frac{n}{2}+\frac{n-1}{3}\right), n=6 t+4 \\ n+2+\left(\frac{n-1}{2}+\frac{n-2}{3}\right), n=6 t+5\end{array}\right.$ ．
下面用数学归纳法证明：
① $\mathrm{n}=6$ 时， $\mathrm{f}(6)=6+2+\frac{6}{2}+\frac{6}{3}=13$ ，结论成立；
（2）假设 $\mathrm{n}=\mathrm{k}(\mathrm{k} \geq 6)$ 时，结论成立，那么 $\mathrm{n}=\mathrm{k}+1$ 时， $\mathrm{S}_{\mathrm{k}+1}$ 在 $\mathrm{S}_{\mathrm{k}}$ 的基础上新增加的元素在 $(1, \mathrm{k}+1),(2, \mathrm{k}+1),(3, \mathrm{k}+1)$ 中产生，分以下情形讨论：
1）若 $\mathrm{k}+1=6 \mathrm{t}$ ，则 $\mathrm{k}=6(\mathrm{t}-1)+5$ ，此时有 $\mathrm{f}(\mathrm{k}+1)=\mathrm{f}(\mathrm{k})+3=(\mathrm{k}+1)+2+\frac{\mathrm{k}+1}{2}+\frac{\mathrm{k}+1}{3}$ ，结论成立；
2）若 $k+1=6 t+1$ ，则 $k=6 t+1$ ，此时有 $f(k+1)=f(k)+1=k+2+\frac{k}{2}+\frac{k}{3}+1=(k+1)+2+ \frac{(k+1)-1}{2}+\frac{(k+1)-1}{3}$ ，结论成立；
3）若 $k+1=6 t+2$ ，则 $k=6 t+1$ ，此时有 $f(k+1)=f(k)+2=k+2+\frac{k-1}{2}+\frac{k-1}{3}+2=(k+1 )+2+\frac{k+1}{2}+\frac{(k+1)-2}{3}$ ，结论成立；
4）若 $k+1=6 t+3$ ，则 $k=6 t+2$ ，此时有 $f(k+1)=f(k)+2=k+2+\frac{k}{2}+\frac{k-2}{3}+2=(k+1)+2 +\frac{(k+1)-1}{2}+\frac{k+1}{3}$ ，结论成立；
5）若 $k+1=6 t+4$ ，则 $k=6 t+3$ ，此时有 $f(k+1)=f(k)+2=k+2+\frac{k-1}{2}+\frac{k}{3}+2=(k+1)+2 +\frac{k+1}{2}+\frac{(k+1)-1}{3}$ ，结论成立；
6）若 $k+1=6 t+5$ ，则 $k=6 t+4$ ，此时有 $f(k+1)=f(k)+2=k+2+\frac{k}{2}+\frac{k-1}{3}+2=(k+1)+2 +\frac{(k+1)-1}{2}+\frac{(k+1)-2}{3}$ ，结论成立．
综上所述，结论对满足 $\mathrm{n} \geq 6$ 的自然数 n 均成立。
点评 本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．