（15分）. 如图，四边形ABCD中， A B C D D…——2025 高考数学第 17 题答案解析

【解答】（1）由 $E B / / F C$ $A ^ { \prime } E / / D ^ { \prime } F$ ，可得平面A'EB // 平面 $D ^ { \prime } F C$ 又由A'B⊂平面A'EB

故 A'B / / 平面 D'FC ;

> ②由 $E F \perp A ^ { \prime } E$ 且 $E F \perp E B$ ，可知A′EB即为二面角的平面角，为 ${ { 6 0 } ^ { \circ } }$ 不妨设AD=1，在平面A'EB内，由点A'作EB垂线，垂足为O，可证 $A ^ { \prime } O \perp$ 底面EBCF, $E O = { \frac { 1 } { 2 } } \ , O B = { \frac { 3 } { 2 } }$

如图建系，

$\overrightarrow { F E } = ( 1 , 0 , 0 )$ $\overrightarrow { E A ^ { \prime } } = ( 0 , \frac { 1 } { 2 } , \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } )$ ，设平面EFD'A'的法向量为 $\overrightarrow { n _ { 1 } } = ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } )$

则有 $\left\{ { \begin{array} { c } { x _ { 1 } = 0 } \\ { \displaystyle { \frac { 1 } { 2 } } y _ { 1 } + { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } z _ { 1 } = 0 } \end{array} } \right.$ ，取 $y _ { 1 } = - { \sqrt { 3 } } \ , \ { \overrightarrow { n _ { 1 } } } = ( 0 , - { \sqrt { 3 } } , 1 )$

$\overrightarrow { C B } = ( 1 , 1 , 0 )$ $\overrightarrow { D ^ { \prime } B } = ( 1 , \frac { 3 } { 2 } , - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } )$ ，设平面BCD'的法向量为 $\overrightarrow { n _ { 2 } } = ( x _ { 2 } , y _ { 2 } , z _ { 2 } )$ ，则有 $\left\{ \begin{array} { c } { { x _ { 2 } + y _ { 2 } = 0 } } \\ { { { } } } \\ { { x _ { 1 } + { \cfrac { 3 } { 2 } } y _ { 1 } - { \cfrac { \sqrt { 3 } } { 2 } } z _ { 1 } = 0 } } \end{array} \right.$ ，取 $y _ { 2 } = { \sqrt { 3 } }$ ，则 $\overrightarrow { n _ { 2 } } = ( - \sqrt { 3 } , \sqrt { 3 } , 1 )$

即平面 $B C D ^ { \prime }$ 与平面 $E F D ^ { \prime } A ^ { \prime }$ 成角θ，则有 $\cos \theta = \left| { \frac { \overrightarrow { n _ { 1 } } \cdot \overrightarrow { n _ { 2 } } } { \left| \overrightarrow { n _ { 1 } } \right| \times \left| \cdot \overrightarrow { n _ { 2 } } \right| } } = { \frac { \sqrt { 7 } } { 7 } } \right|$ ，故 $\sin \theta = \frac { \sqrt { 4 2 } } { 7 }$