二面角　·　历年高考数学真题与解析

17. （15分）. 如图，四边形ABCD中， $A B \parallel C D$ $\angle D A B = 9 0 ^ { \circ }$ ，F为CD中点，E在AB上， $E F \mid \mid A D \ , A B = 3 A D , C D = 2 A D$ 。将四边形 EFDA 沿 EF翻折至四边形

$E F D ^ { ' } A ^ { ' }$ ，使得面 $E F D ^ { ' } A$ 与面EFCB所成的二面角为60°

（1）证明： $\dot { A ^ { \prime } } B \parallel$ 平面 $C D ^ { ' } F$

(2) 求面 $B C D '$ 与面 $E F D ^ { ' } A ^ { ' }$ 所成二面角的正弦值.

17．如图，平面四边形 $A B C D$ 中，$A B=8, C D=3, A D=5 \sqrt{3}, \angle A D C=90^{\circ}, \angle B A D=30^{\circ}$ ，点 $E$ ， $F$ 满足 $\overrightarrow{A E}=\frac{2}{5} \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A F}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$ ，将 $\triangle A E F$ 沿 $E F$ 对折至！$P E F$ ，使得 $P C=4 \sqrt{3}$ ．

（1）证明：$E F \perp P D$ ；
（2）求面 $P C D$ 与面 $P B F$ 所成的二面角的正弦值．

17．已知四棱锥 $P-A B C D, A D / / B C, A B=B C=1, A D=3, D E=P E=2, E$ 是 $A D$ 上一点， $P E \perp A D$ ．

（1）若 $F$ 是 $P E$ 中点，证明：$B F / /$ 平面 $P C D$ ．
（2）若 $A B \perp$ 平面 $P E D$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值．

17．如图，四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P A \perp$ 底面 $A B C D, P A=A C=2, B C=1, A B=\sqrt{3}$ ．

（1）若 $A D \perp P B$ ，证明：$A D / /$ 平面 $P B C$ ；
（2）若 $A D \perp D C$ ，且二面角 $A-C P-D$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ ，求 $A D$ ．

17．已知四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形，$A B / / C D, A_{1} A \perp$ 平面 $A B C D$ ， $A D \perp A B$ ，其中 $A B=A A_{1}=2, A D=D C=1 . N$ 是 $B_{1} C_{1}$ 的中点，$M$ 是 $D D_{1}$ 的中点．

（1）求证 $D_{1} N / /$ 平面 $C B_{1} M$ ；
（2）求平面 $C B_{1} M$ 与平面 $B B_{1} C C_{1}$ 的夹角余弦值；
（3）求点 $B$ 到平面 $C B_{1} M$ 的距离．

19．如图，在以 $A, B, C, D, E, F$ 为顶点的五面体中，四边形 $A B C D$ 与四边形 $A D E F$ 均为等腰梯形， $B C / / A D, E F / / A D, A D=4, A B=B C=E F=2, E D=\sqrt{10}, F B=2 \sqrt{3}$ ，$M$ 为 $A D$ 的中点．

（1）证明：$B M / /$ 平面 $C D E$ ；
（2）求二面角 $F-B M-E$ 的正弦值．

16．如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C, P A=A B=B C=1, P C=\sqrt{3}$ ．

（1）求证：$B C \perp$ 平面 $P A B$ ；
（2）求二面角 $A-P C-B$ 的大小．

18．如图，在正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=2, A A_{1}=4$ ．点 $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ 分别在棱 $A A_{1}, B B_{1}, C C_{1}, D D_{1}$ 上，$A A_{2}=1, B B_{2}=D D_{2}=2, C C_{2}=3$ 。

（1）证明：$B_{2} C_{2} / / A_{2} D_{2}$ ；
（2）点 $P$ 在棱 $B B_{1}$ 上，当二面角 $P-A_{2} C_{2}-D_{2}$ 为 $150^{\circ}$ 时，求 $B_{2} P$ ．

19．如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$A B \perp B C, A B=2, B C=2 \sqrt{2}, P B=P C=\sqrt{6}, B P, A P, B C$的中点分别为 $D, E, O, A D=\sqrt{5} D O$ ，点 $F$ 在 $A C$ 上，$B F \perp A O$ ．

（1）证明：$E F / /$ 平面 $A D O$ ；

（2）证明：平面 $A D O \perp$ 平面 $B E F$ ；
（3）求二面角 $D-A O-C$ 的正弦值．

20．如图，三棱锥 $A-B C D$ 中，$D A=D B=D C, B D \perp C D, \angle A D B=\angle A D C=60^{\circ}, E$ 为 $B C$ 的中点．

（1）证明：$B C \perp D A$ ；
（2）点 $F$ 满足 $\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{D A}$ ，求二面角 $D-A B-F$ 的正弦值．

9．已知圆锥的顶点为 $P$ ，底面圆心为 $O, A B$ 为底面直径，$\angle A P B=120^{\circ}, P A=2$ ，点 $C$ 在底面圆周上，且二面角 $P-A C-O$ 为 $45^{\circ}$ ，则（ ）。

9．已知 $\triangle A B C$ 为等腰直角三角形，$A B$ 为斜边，$\triangle A B D$ 为等边三角形，若二面角 $C-A B-D$ 为 $150^{\circ}$ ，则直线 $C D$ 与平面 $A B C$ 所成角的正切值为（ ）

19．如图，直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $4, \triangle A_{1} B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ．

（1）求 $A$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离；
（2）设 $D$ 为 $A_{1} C$ 的中点，$A A_{1}=A B$ ，平面 $A_{1} B C \perp$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，求二面角 $A-B D-C$ 的正弦值．

8．如图，已知正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}, A C=A A_{1}, E, F$ 分别是棱 $B C, A_{1} C_{1}$ 上的点．记 $E F$ 与 $A A_{1}$ 所成的角为 $\alpha, E F$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $\beta$ ，二面角 $F-B C-A$ 的平面角为 $\gamma$ ，则（）

18．如图，$D$ 为圆锥的顶点，$O$ 是圆锥底面的圆心，$A E$ 为底面直径，$A E=A D . \triangle A B C$是底面的内接正三角形，$P$ 为 $D O$ 上一点，$P O=\frac{\sqrt{6}}{6} D O$ ．

（1）证明：$P A \perp$ 平面 $P B C$ ；
（2）求二面角 $B-P C-E$ 的余弦值．

19．如图，在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别在棱 $D D_{1}, B B_{1}$ 上，且 $2 D E=E D_{1}$ ， $B F=2 F B_{1}$.

（1）证明：点 $C_{1}$ 在平面 $A E F$ 内；
（2）若 $A B=2, A D=1, A A_{1}=3$ ，求二面角 $A-E F-A_{1}$ 的正弦值．

18．如图，直四棱柱 $A B C D-$
$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是菱形，$A A_{1}=4, A B=2, \angle B A D=60^{\circ}, E, M, N$ 分别是 $B C, B B_{1}, A_{1} D$ 的中点。

（1）证明：$M N / /$ 平面 $C_{1} D E$ ；
（2）求二面角 $A-M A_{1}-N$ 的正弦值．

19．图1是由矩形 $A D E B$ ，Rt $\triangle A B C$ 和菱形 $B F G C$ 组成的一个平面图形，其中 $A B=1, B E=B F=2$ ，$\angle F B C=60^{\circ}$ ，将其沿 $A B, B C$ 折起使得 $B E$ 与 $B F$ 重合，连结 $D G$ ，如图2．
（1）证明：图2中的 $A, C, G, D$ 四点共面，且平面 $A B C \perp$ 平面 $B C G E$ ；

（2）求图2中的二面角 $B-C G-A$ 的大小．

图1

图2

9．（5 分）如图，已知正四面体 $\mathrm{D}-\mathrm{ABC}$（所有棱长均相等的三棱锥）， $\mathrm{P} , \mathrm{Q} , \mathrm{R}$分别为 $A B , B C , C A$ 上的点，$A P=P B, \frac{B Q}{Q C}=\frac{C R}{R A}=2$ ，分别记二面角 $D-P R-Q$ ， $\mathrm{D}-\mathrm{PQ}-\mathrm{R}, \mathrm{D}-\mathrm{QR}-\mathrm{P}$ 的平面角为 $\alpha, \beta, \gamma$ ，则（）

17．如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形， $\mathrm{AB}^{\wedge}$ 平面 $\mathrm{BEC}, \mathrm{BE}^{\wedge} \mathrm{EC}, \mathrm{AB}=\mathrm{BE}=\mathrm{EC}=2, \mathrm{G}$ ， F 分别是线段 $\mathrm{BE}, \mathrm{DC}$ 的中点．
（ I ）求证：$G F / /$ 平面 $A D E$ ；
（II）求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值．

17．（14分）如图，在四棱锥 A－EFCB 中，$\triangle A E F$ 为等边三角形，平面 $A E F \perp$ 平面 $E F C B, E F / / B C, B C=4, E F=2 a, \angle E B C=\angle F C B=60^{\circ}$ ，$O$ 为 $E F$ 的中点。
（I）求证：$A O \perp B E$ ．
（II）求二面角 $F-A E-B$ 的余弦值；
（III）若 $B E \perp$ 平面 $A O C$ ，求 $a$ 的值．

19．如图，已知四棱台 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形，$A A_{1}=6$，且 $A A_{1} \perp$ 底面 $A B C D$，点 $P, Q$ 分别在棱 $D D_{1}, \mathrm{BC}$ 上。
（1）若 P 是 $D D_{1}$ 的中点，证明：$A B_{1} \perp P Q$；
（2）若 $P Q / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$，二面角 $P-Q D-A$ 的余弦值为 $\frac{3}{7}$，求四面体 $A D P Q$ 的体积．

19．（本小题满分 12 分）
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑。
如图，在阳马 $P-A B C D$ 中，侧棱 $P D \perp$ 底面 $A B C D$ ，且 $P D=C D$ ，过棱 $P C$ 的中点 $E$ ，作 $E F \perp P B$ 交 $P B$于点 $F$ ，连接 $D E, D F, B D, B E$ ．
（I）证明：$P B \perp$ 平面 $D E F$ 。试判断四面体 $D B E F$ 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（II）若面 $D E F$ 与面 $A B C D$ 所成二面角的大小为 $\frac{\pi}{3}$ ，求 $\frac{D C}{B C}$ 的值．

11．（5分）已知二面角 $\alpha-I-\beta$ 为 $60^{\circ}, A B \subset \alpha, A B \perp I, A$ 为垂足，$C D \subset \beta, C \in I$ ， $\angle A C D=135^{\circ}$ ，则异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为（）

18．三棱锥 $A-B C D$ 及其侧视图、俯视图如图所示．设 $M, N$ 分别为线段 $A D, A B$ 的中点，$P$ 为线段 $B C$上的点，且 $M N \perp N P$ ．
（1）证明：$P$ 为线段 $B C$ 的中点；
（2）求二面角 $A-N P-M$ 的余弦值．

侧视图

俯视图

18．（12分）如图，四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 中，底面 ABCD 为矩形， $\mathrm{PA} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{E}$为 PD 的中点．
（I）证明： $\mathrm{PB} \|$ 平面 AEC ；
（II）设二面角 $\mathrm{D}-\mathrm{AE}-\mathrm{C}$ 为 $60^{\circ}, \mathrm{AP}=1, \mathrm{AD}=\sqrt{3}$ ，求三棱锥 $\mathrm{E}-\mathrm{ACD}$ 的体积。

19．（本小题满分 12 分）
如图，$\triangle A B C$ 和 $\triangle B C D$ 所在平面互相垂直，且 $A B=B C=B D=2, \angle A B C=\angle D B C=120^{\circ}, E, F$ 分别为 $A C, D C$ 的中点．
（1）求证：$E F \perp B C$；
（2）求二面角 $E-B F-C$ 的正弦值．

19．（本小题满分 12 分）

如图，在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E, F, M, N$ 分别是棱 $A B, A D, A_{1} B_{1}, A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $P, Q$ 分别在棱 $D D_{1}, B B_{1}$ 上移动，且 $D P=B Q=\lambda(0<\lambda<2)$．
（1）当 $\lambda=1$ 时，证明：直线 $B C_{1} / /$ 平面 $E F P Q$；
（2）是否存在 $\lambda$，使平面 $E F P Q$ 与面 $P Q M N$ 所成的二面角为直二面角？若存在，求出 $\lambda$ 的值；若不存在，说明理由．

19．（本小题满分 13 分，（I）小问 6 分，（II）小问 7 分）
如题（19）图，四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面是以 $O$ 为中心的菱形，$P O \perp$ 底面 $A B C D$， $A B=2, \angle B A D=\frac{\pi}{3}, M$ 为 $B C$ 上一点，且 $B M=\frac{1}{2}, M P \perp A P$．
（I）求 $P O$ 的长；
（II）求二面角 $A-P M-C$ 的正弦值．

题（19）图

18．（本小题满分 12 分）
如图，四棱柱 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 的底面 ABCD 是正方形， O 为底面中心， $\mathrm{A}_{1} \mathrm{O} \perp$ 平面 ABCD， $A B=A A_{1}=\sqrt{2}$.

（I）证明： $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C} \perp$ 平面 $\mathrm{BB}_{1} \mathrm{D}_{1} \mathrm{D}$；
（II）求平面 $\mathrm{OCB}_{1}$ 与平面 $\mathrm{BB}_{1} \mathrm{D}_{1} \mathrm{D}$ 的夹角 $\theta$ 的大小．

19．（本小题满分 12 分）
如图，在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C$ 中，侧棱 $A A_{1} \perp$ 底面 $A B C, A B=A C=2 A A_{1}$， $\angle B A C=120^{\circ}, D, D_{1}$ 分别是线段 $B C, B_{1} C_{1}$ 的中点，$P$ 是线段 $A D$ 的中点．
（I）在平面 $A B C$ 内，试作出过点 $P$ 与平面 $A_{1} B C$ 平行的直线 $l$，说明理由，并证明直线 $l \perp$平面 $A D D_{1} A_{1}$；
（II）设（I）中的直线 $l$ 交 $A B$ 于点 $M$，交 $A C$ 于点 $N$，求二面角 $A-A_{1} M-N$ 的余弦值．

（14）若平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|2 \vec{a}-\vec{b}| \leq 3$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最小值是 $\_\_\_\_$。

16．（5分）已知 $E$ 、 $F$ 分别在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $B B_{1} , C C_{1}$ 上，且 $B_{1} E=2 E B, C F=2 F C_{1}$ ，则面 $A E F$ 与面 $A B C$ 所成的二面角的正切值等于 $-\frac{\sqrt{2}}{3}$

10．直线 $y=k x+3$ 与圆 $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=4$ 相交于 $M , N$ 两点，若 $|M N| \geqslant 2 \sqrt{3}$ ，则 $k$ 的取值范围是

16．（5分）等边三角形 $A B C$ 与正方形 $A B D E$ 有一公共边 $A B$ ，二面角 $C-A B-D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}, M, N$ 分别是 $A C, B C$ 的中点，则 $E M, A N$ 所成角的余弦值等于 $\frac{1}{6}$ ．

（18）（本题 14 分）如图，矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互
相垂直， $\mathrm{BE} / / \mathrm{CF}, \angle \mathrm{BCF}=\angle \mathrm{CEF}=90^{\circ}, \mathrm{AD}=\sqrt{3}, \mathrm{EF}=2$ 。
（I）求证： $\mathrm{AE} / /$ 平面 DCF ；
（II）当 AB 的长为何值时，二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{EF}-\mathrm{C}$ 的大小为 $60^{\circ}$ ？

（第18题）

20．（12分）如图，正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A A_{1}=2 A B=4$ ，点 $E$ 在 $C C_{1}$ 上且 $C_{1} \mathrm{E}=3 \mathrm{EC}$ ．
（ I ）证明： $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C} \perp$ 平面 BED ；
（II）求二面角 $\mathrm{A}_{1}-\mathrm{DE}-\mathrm{B}$ 的大小。

（20）（本题 14 分）如图，矩形 $A B C D$ 和梯形 $B E F C$ 所在平面互相垂直，$\angle B C F=\angle C E F=90^{\circ}, A D= \sqrt{3}, E F=2$.

（I）求证：$A E / /$ 平面 $D C F$ ；
（II）当 $A B$ 的长为何值时，二面角 $A-E F-C$ 的大小为 $60^{\circ}$ ？