19．（本小题满分 12 分）
某工厂有 25 周岁以上（含 25 周岁）工人 300 名， 25 周岁以下工人 200 名。为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在＂25周岁以上（含 25 周岁）＂和＂ 25 周岁以下＂分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为 5 组：$[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)$ 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（I）从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人，求至少抽到一名＂ 25 周岁以下组＂工人的概率；
（II）规定日平均生产件数不少于 80 件者为＂生产能手＂，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有 $90 \%$ 的把握认为＂生产能手与工人所在的年龄组有关＂？
附：$x^{2}=\frac{n\left(n_{11} n_{22}-n_{12} n_{21}\right)}{n_{1 *} n_{2 *} n_{* 1} n_{* 2}}$（注：此公式也可以写成 $\mathbf{k}^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ）
| $P\left(x^{2} \geq k\right)$ | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
|---|---|---|---|---|
| k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
25 周岁以上组
25 周岁以下组
参考答案（I）由已知得，样本中有 25 周岁以上组工人 60 名， 25 周岁以下组工人 40 名所以，样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中， 25 周岁以上组工人有 $60 \times 0.05=3$（人），记为 $A_{1}, A_{2}, A_{5} ; 25$ 周岁以下组工人有 $40 \times 0.05=2$（人），记为 $B_{1}, B_{2}$从中随机抽取2名工人，所有可能的结果共有 10 种，他们是：$\left(A_{1}, A_{2}\right),\left(A_{1}, A_{3}\right),\left(A_{2}, A_{3}\right),\left(A_{1}, B_{1}\right)$， $\left(A_{1}, B_{2}\right),\left(A_{2}, B_{1}\right),\left(A_{2}, B_{2}\right),\left(A_{5}, B_{1}\right),\left(A_{5}, B_{2}\right),\left(B_{1}, B_{2}\right)$其中，至少有名＂ 25 周岁以下组＂工人的可能结果共有 7 种，它们是：$\left(A_{1}, B_{1}\right),\left(A_{1}, B_{2}\right),\left(A_{2}, B_{1}\right)$， $\left(A_{2}, B_{2}\right),\left(A_{5}, B_{1}\right),\left(A_{5}, B_{2}\right),\left(B_{1}, B_{2}\right)$．故所求的概率：$P=\frac{7}{10}$ （II）由频率分布直方图可知，在抽职的 100 名工人中，＂ 25 周岁以上组＂中的生产能手 $60 \times 0.25=15$（人），＂ 25 周岁以下组＂中的生产能手 $40 \times 0.375=15$（人），据此可得 $2 \times 2$ 列联表如下： | | 生产能手 | 非生产能手 | 合计 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | 25周岁以上组 | 15 | 45 | 60 | | 25 周岁以下组 | 15 | 25 | 40 | | 合计 | 30 | 70 | 100 | 所以得：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}=\frac{100 \times(15 \times 25-15 \times 45)^{2}}{60 \times 40 \times 30 \times 70}=\frac{25}{14} \approx 1.79$ 因为 $1.79<2.706$，所以没有 $90 \%$ 的把握认为＂生产能手与工人所在的年龄组有关＂