概率综合　·　历年高考数学真题与解析

13．甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 $5: 4: 6$ ．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为 $40 \%, 25 \%, 50 \%$ 。现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 $\_\_\_\_$ ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 $\_\_\_\_$。

18．为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续 40 天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用＂＋＂表示＂上涨＂，即当天价格比前一天价格高；用＂－＂表示＂下跌＂，即当天价格比前一天价格低；用＂ 0 ＂表示＂不变＂，即当天价格与前一天价格相同。

用频率估计概率．
（1）试估计该农产品价格＂上涨＂的概率；
（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取 4 天，试估计该农产品价格在这 4 天中 2 天＂上涨＂、 1 天＂下跌＂、 1 天＂不变＂的概率；
（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响。判断第 41 天该农产品价格＂上涨＂＂下跌＂和＂不变＂的概率估计值哪个最大。（结论不要求证明）

21．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6 ，乙每次投篮的命中率均为 0.8 ．由抽签确定第 1次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5 ．
（1）求第 2 次投篮的人是乙的概率；
（2）求第 i 次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量 $X_{i}$ 服从两点分布，且 $P\left(X_{i}=1\right)=1-P\left(X_{i}=0\right)=q_{i}, i=1,2, \cdots, n$ ，则 $E\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} q_{i}$ ．记前 $n$ 次（即从第 1 次到第 $n$ 次投篮）中甲投篮的次数为 $Y$ ，求 $E(Y)$ 。

8．在区间 $(0,1)$ 与 $(1,2)$ 中各随机取 1 个数，则两数之和大于 $\frac{7}{4}$ 的概率为（ ）

19．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为 $\frac{1}{2}$ ，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．

17．（12 分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月 $A, B$ 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的 1000 名学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 $A, B$ 两种支付方式都不使用的有 5人，样本中仅使用 $A$ 和仅使用 $B$ 的学生的支付金额分布情况如下：

（I）估计该校学生中上个月 $A, B$ 两种支付方式都使用的人数；
（II）从样本仅使用 $B$ 的学生中随机抽取 1 人，求该学生上个月支付金额大于 2000 元的概率；
（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 $B$ 的学生中随机抽查 1 人，发现他本月的支付金额大于 2000 元。结合（II）的结果，能否认为样本仅使用 $B$ 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由．

17．（12 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（I）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（II）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（III）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等。用 ＂$\xi_{\mathrm{k}}=1$＂表示第 k 类电影得到人们喜欢。＂$\xi_{\mathrm{k}}=0$＂表示第 k 类电影没有得到人们喜欢 $(\mathrm{k}=1,2,3,4,5,6)$ 。写出方差 $\mathrm{D} \xi_{1}, \mathrm{D} \xi_{2}, \mathrm{D} \xi_{3}, \mathrm{D} \xi_{4}, \mathrm{D} \xi_{5}, \mathrm{D} \xi_{6}$ 的大小关系。

18．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：

旧养殖法

新养殖法

①设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件＂旧养殖法的箱产量低于 50 kg ，新养殖法的箱产量不低于 50 kg ＂，估计 A 的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 $99 \%$ 的把握认为箱产量与养殖方法有关：

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值精确到0．01）。

附：

$\mathrm{K}^{2}=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{ad}-\mathrm{bc})^{2}}{(\mathrm{a}+\mathrm{b})(\mathrm{c}+\mathrm{d})(\mathrm{a}+\mathrm{c})(\mathrm{b}+\mathrm{d})}$.

14．（5 分）（2016 • 山东）在 $[-1,1]$ 上随机地取一个数 k ，则事件＂直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}$ 与圆（ $\mathrm{x}-5$ ） ${ }^{2}+y^{2}=9$ 相交＂发生的概率为 $\_\_\_\_$。

8．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为4 0 秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为

11．设复数 $z=(x-1)+y i(x, y \in R)$ ，若 $|z| \leq 1$ ，则 $y \geq x$ 的概率为（ ）

18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区： 62738192958574645376
78869566977888827689
B地区： 73836251914653736482
93486581745654766579
（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即

可）；
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

记事件C：＂A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级＂，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率．

8．在区间 $[0,1]$ 上随机取两个数 $x, y$ ，记 $p_{1}$ 为事件＂$x+y \leq \frac{1}{2}$＂的概率，$p_{2}$ 为事件＂$x y \leq \frac{1}{2}$＂的概率，则

16．（13 分）李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；

（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率；
（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过 0.6 ，一场不超过 0.6 的概率；
（3）记 $\overline{\mathrm{x}}$ 是表中 10 个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 x 为李明在这场比赛中的命中次数，比较 EX 与 $\overline{\mathrm{x}}$ 的大小（只需写出结论）。

21．（满分 14 分）随机将 $1,2, \cdots, 2 n\left(n \in N^{*}, n \geq 2\right)$ 这 2 n 个连续正整数分成 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两组，每组 n 个数， A 组最小数为 $a_{1}$ ，最大数为 $a_{2}$ ；B 组最小数为 $b_{1}$ ，最大数为 $b_{2}$ ，记 $\xi=a_{2}-a_{1}, \eta=b_{2}-b_{1}$
（1）当 $n=3$ 时，求 $\xi$ 的分布列和数学期望；
（2）令 C 表示事件 $\xi$ 与 $\eta$ 的取值恰好相等，求事件 C 发生的概率 $p(c)$ ；
（3）对（2）中的事件 $\mathrm{C}, ~ \bar{c}$ 表示 C 的对立事件，判断 $p(c)$ 和 $p(\bar{c})$ 的大小关系，并说明理由。

14．利用计算机产生 $0 \sim 1$ 之间的均匀随机数 $a$，则事件＂ $3 a-1<0$＂发生的概率为

15．在区间 $[-2,4]$ 上随机地取一个数 $x$，若 $x$ 满足 $|x| \leq m$ 的概率为 $\frac{5}{6}$，
则 $m=$ $\_\_\_\_$．

18．（本小题满分 12 分）
某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量 $Y$（单位： kg ）与它的＂相近＂作物株数 $X$ 之间的关系如下表所示：

这里，两株作物＂相近＂是指它们之间的直线距离不超过 1 米。
（I）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；

（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为 48 kg 的概率．

19．（本小题满分 12 分）
某工厂有 25 周岁以上（含 25 周岁）工人 300 名， 25 周岁以下工人 200 名。为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在＂25周岁以上（含 25 周岁）＂和＂ 25 周岁以下＂分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为 5 组：$[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)$ 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（I）从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人，求至少抽到一名＂ 25 周岁以下组＂工人的概率；
（II）规定日平均生产件数不少于 80 件者为＂生产能手＂，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有 $90 \%$ 的把握认为＂生产能手与工人所在的年龄组有关＂？

附：$x^{2}=\frac{n\left(n_{11} n_{22}-n_{12} n_{21}\right)}{n_{1 *} n_{2 *} n_{* 1} n_{* 2}}$（注：此公式也可以写成 $\mathbf{k}^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ）

25 周岁以上组

25 周岁以下组

5．如图，在矩形区域 ABCD 的 $\mathrm{A}, \mathrm{C}$ 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 $\operatorname{CBF}$（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）。若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是

9．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是

9．已知事件＂在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P，使 $\triangle \mathrm{APB}$ 的最大边是 AB ＂发生的概率为 $\frac{1}{2}$，则 $\frac{A D}{A B}=$

8．如图，在圆心角为直角的扇形 $O A B$ 中，分别以 $O A, O B$ 为直径作两个半圆。在扇形 $O A B$内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）

第8题图

15．已知圆 $C: x^{2}+y^{2}=12$ ，直线 $l: 4 x+3 y=25$ ．
（1）圆 $C$ 的圆心到直线 $l$ 的距离为 $\_\_\_\_$。
（2）圆 $C$ 上任意一点 $A$ 到直线 $l$ 的距离小于 2 的概率为 $\_\_\_\_$ ．

18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5 ，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3．设各车主购买保险相互独立．
（I）求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；
（II）X表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。

18．（本小题满分 12 分）
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y （单位：万千瓦时）与该河上游在六月份是我降雨量 X （单位：毫米）有关，据统计，当 $\mathrm{X}=70$ 时， $\mathrm{Y}=460$ ； X 每增加10，Y增加5．已知近20年X的值为： $140,110,160,70,200,160,140,160,220,200$ ， $110,160,160,200,140,110,160,220,140,160$.
（I）完成如下的频率分布表

近20年六月份降雨量频率分布表

（II）假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490 （万千瓦时）或超过 53 0 （万千瓦时）的概率．

11．在区间 $[-1,2]$ 上随即取一个数 x ，则 $\mathrm{x} \in[0,1]$ 的概率为 $\_\_\_\_$。

20．（12分）某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 10 名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核。
（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（3）求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率．

17．（本小题共13分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 $A, B, C, D$ 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。
（I）求甲、乙两人同时参加 $A$ 岗位服务的概率；
（II）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（III）设随机变量 $\xi$ 为这五名志愿者中参加 $A$ 岗位服务的人数，求 $\xi$ 的分布列．

（19）（本题 14 分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是 $\frac{2}{5}$ ；从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 $\frac{7}{9}$ 。
（I）若袋中共有 10 个球，
（i）求白球的个数；
（ii）从袋中任意摸出 3 个球，记得到白球的个数为 $\xi$ ，求随机变量 $\xi$ 的数学期望 $E \xi$ 。
（II）求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于 $\frac{7}{10}$ 。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。

20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物。血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病。下面是两种化验方案：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止。
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验。若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验。

求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．