2019_北京卷 (2019·文)
17．（12 分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月 $A, B$ 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的 1000 名学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 $A, B$ 两种支付方式都不使用的有 5人，样本中仅使用 $A$ 和仅使用 $B$ 的学生的支付金额分布情况如下：
| 支付金额 | 不大于 2000 元 | 大于 2000 元 |
|---|---|---|
| 支付方式 | 27 人 | 3 人 |
| 仅使用 $A$ |
| 仅使用 $B$ | 24 人 | 1 人 |
|---|
（I）估计该校学生中上个月 $A, B$ 两种支付方式都使用的人数；
（II）从样本仅使用 $B$ 的学生中随机抽取 1 人，求该学生上个月支付金额大于 2000 元的概率；
（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 $B$ 的学生中随机抽查 1 人，发现他本月的支付金额大于 2000 元。结合（II）的结果，能否认为样本仅使用 $B$ 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由．
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【分析】（I）从全校所有的 1000 名学生中随机抽取的 100 人中，$A, B$ 两种支付方式都不使用的有 5 人，仅使用 $A$ 的有 30 人，仅使用 $B$ 的有 25 人，求出 $A, B$ 两种支付方式都使用的人数有 40 人，由此能估计该校学生中上个月 $A, B$ 两种支付方式都使用的人数．
（II）从样本仅使用 $B$ 的学生有 25 人，其中不大于 2000 元的有 24 人，大于 2000 元的有 1 人，从中随机抽取 1 人，基本事件总数 $n=25$ ，该学生上个月支付金额大于 2000 元包含的基本事件个数 $m=1$ ，由此能求出该学生上个月支付金额大于 2000 元的概率。（III）从样本仅使用 $B$ 的学生中随机抽查 1 人，发现他本月的支付金额大于 2000 元的概率为 $\frac{1}{25}$ ，虽然概率较小，但发生的可能性为 $\frac{1}{25}$ ．不能认为样本仅使用 $B$ 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化．
【解答】解：（ I ）由题意得：
从全校所有的 1000 名学生中随机抽取的 100 人中，
$A, B$ 两种支付方式都不使用的有 5 人，
仅使用 $A$ 的有 30 人，仅使用 $B$ 的有 25 人，
$\therefore A, B$ 两种支付方式都使用的人数有：100－5－30－25＝40，
∴ 估计该校学生中上个月 $A, B$ 两种支付方式都使用的人数为： $1000 \times \frac{40}{100}=400$ 人．
（II）从样本仅使用 $B$ 的学生有 25 人，其中不大于 2000 元的有 24 人，大于 2000 元的有 1 人，
从中随机抽取 1 人，基本事件总数 $n=25$ ，
该学生上个月支付金额大于 2000 元包含的基本事件个数 $m=1$ ，
∴ 该学生上个月支付金额大于 2000 元的概率 $p=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{1}{25}$ ．
（III）不能认为样本仅使用 $B$ 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化，
理由如下：
上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．
现从样本仅使用 $B$ 的学生中随机抽查 1 人，
发现他本月的支付金额大于 2000 元的概率为 $\frac{1}{25}$ ，
虽然概率较小，但发生的可能性为 $\frac{1}{25}$ ．
故不能认为样本仅使用 $B$ 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化．
【点评】本题考查频数、概率的求法，考查频数分布表、概率等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．