2017_天津卷 (2017·文)
14．（5分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，$\angle \mathrm{A}=60^{\circ}, \mathrm{AB}=3, \mathrm{AC}=2$ ．若 $\overrightarrow{\mathrm{BD}}=2 \overrightarrow{\mathrm{DC}}, \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}(\lambda \in$
R），且 $\overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}=-4$ ，则 $\lambda$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．
$\frac{3}{11}$
【解答】
（5分）（2017•天津）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，$\angle \mathrm{A}=60^{\circ}, \mathrm{AB}=3, \mathrm{AC}=2$ 。若 $\overrightarrow{\mathrm{BD}}=2 \overrightarrow{\mathrm{DC}}$ ， $\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}(\lambda \in \mathrm{R})$ ，且 $\overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}=-4$ ，则 $\lambda$ 的值为 $-\frac{3}{11}$ 。
【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用 $\overrightarrow{\mathrm{AB}} , \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 表示出 $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ ，再根据平面向量的数量积 $\overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}$ 列出方程求出 $\lambda$ 的值。
【解答】解：如图所示，
$\triangle \mathrm{ABC}$ 中，$\angle \mathrm{A}=60^{\circ}, \mathrm{AB}=3, \mathrm{AC}=2$ ，
$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=2 \overrightarrow{\mathrm{DC}}$,
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BD}}$
$=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{BC}}$
$=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}})$
$=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ，
又 $\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}(\lambda \in R)$ ，
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\left(\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AC}}\right) \cdot(\lambda \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}})$
$=\left(\frac{1}{3} \lambda-\frac{2}{3}\right) \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}^{2}+\frac{2}{3} \lambda \overrightarrow{\mathrm{AC}}^{2}$
$=\left(\frac{1}{3} \lambda-\frac{2}{3}\right) \times 3 \times 2 \times \cos 60^{\circ}-\frac{1}{3} \times 3^{2}+\frac{2}{3} \lambda \times 2^{2}=-4$ ，
$\therefore \frac{11}{3} \lambda=1$ ，
解得 $\lambda=\frac{3}{11}$ ．
故答案为：$\frac{3}{11}$ ．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．
在 $\triangle A B C$ 中，$D$ 为 $B C$ 中点，$E$ 为 $A D$ 中点，则以下结论：①存在 $\triangle A B C$ ，使得 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C E}=0$ ；②存在三角形 $\triangle A B C$ ，使得 $\overrightarrow{C E} / /(\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{C A})$ ；它们的成立情况是（ ）
对任意向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，下列关系式中不恒成立的是（ ）
平面向量 $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(4,2), \vec{c}=m \vec{a}+\vec{b}(m \in R)$ ，且 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角等于 $\vec{c}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，则 $m=$（ ）