（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。…——2017 高考数学第 12 题答案解析

【考点】8E：数列的求和．
【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．
**方法一**：由数列的性质，求得数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式及前 n 项和，可知当 $N$ 为 $\frac{n(n+1)}{2}$ 时 $\left(n \in N_{+}\right)$，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $N$ 项和为数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，即为 $2^{n+} 1-n-2$ ，容易得到 $N>100$ 时，$n \geq 14$ ，分别判断，即可求得该款软件的激活码；

**方法二**：由题意求得数列的每一项，及前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=2^{\mathrm{n}+1}-2-\mathrm{n}$ ，及项数，由题意可知： $2^{n+1}$ 为 2 的整数幕。只需将－2－n 消去即可，分别即可求得 $N$ 的值。
【解答】解：设该数列为 $\left\{a_{n}\right\}$ ，设 $b_{n}=\frac{a_{(n-1) n}}{2}+\ldots+\frac{a_{n(n+1)}}{2}=2^{n+1}-1$ ，$\left(n \in N_{+}\right)$ ，则 $\sum_{i=1}^{n} b_{i}=\sum_{i=1}^{\frac{n(n+1)}{2}} a_{i}$ ，
由题意可设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $N$ 项和为 $S_{N}$ ，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则 $T_{n}=2^{1}-1+2^{2} -1+\ldots+2^{n+1}-1=2^{n+1}-n-2$,
可知当 $N$ 为 $\frac{n(n+1)}{2}$ 时 $\left(n \in N_{+}\right)$，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $N$ 项和为数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，即为 $2^{\mathrm{n}+1}-\mathrm{n}-2$,

容易得到 $N>100$ 时，$n \geq 14$ ，
A项，由 $\frac{29 \times 30}{2}=435,440=435+5$ ，可知 $\mathrm{S}_{440}=\mathrm{T}_{29}+\mathrm{b}_{5}=2^{30}-29-2+2^{5}-1=2^{30}$ ，故A项符合题意。
B项，仿上可知 $\frac{25 \times 26}{2}=325$ ，可知 $S_{330}=T_{25}+b_{5}=2^{26}-25-2+2^{5}-1=2^{26}+4$ ，显然不为 2 的整数幂，故B项不符合题意。
C项，仿上可知 $\frac{20 \times 21}{2}=210$ ，可知 $S_{220}=T_{20}+b_{10}=2^{21}-20-2+2^{10}-1=2^{21}+2^{10}-23$ ，

显然不为 2 的整数幂，故C项不符合题意。
D项，仿上可知 $\frac{14 \times 15}{2}=105$ ，可知 $S_{110}=T_{14}+b_{5}=2^{15}-14-2+2^{5}-1=2^{15}+15$ ，显然不为 2 的整数幂，故D项不符合题意。

故选A．
**方法二**：由题意可知：第一项，$\frac{2^{0}, 2^{1}}{\text { 第二项 }}, \frac{2^{0}, 2^{1}, 2^{2}}{\text { 第三项 }}, \ldots$

$$ \frac{2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, \cdots, 2^{\mathrm{n}-1}}{\text { 第n项 }}, $$

根据等比数列前 n 项和公式，求得每项和分别为： $2^{1}-1,2^{2}-1,2^{3}-1, \ldots, 2^{\mathrm{n}}$ -1,

每项含有的项数为： $1,2,3, \ldots, \mathrm{n}$ ，
总共的项数为 $\mathrm{N}=1+2+3+\ldots+\mathrm{n}=\frac{(1+\mathrm{n}) \mathrm{n}}{2}$ ，
所有项数的和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}: 2^{1}-1+2^{2}-1+2^{3}-1+\ldots+2^{\mathrm{n}}-1=\left(2^{1}+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{\mathrm{n}}\right)-\mathrm{n}=$

$$ \frac{2\left(1-2^{n}\right)}{1-2}-n=2^{n+1}-2-n, $$

由题意可知： $2^{n+1}$ 为 2 的整数幂。只需将－2－n消去即可，
则① $1+2+(-2-n)=0$ ，解得：$n=1$ ，总共有 $\frac{(1+1) \times 1}{2}+2=3$ ，不满足 $N>100$ ，
② $1+2+4+(-2-n)=0$ ，解得：$n=5$ ，总共有 $\frac{(1+5) \times 5}{2}+3=18$ ，不满足 $N>100$
③ $1+2+4+8+(-2-n)=0$ ，解得：$n=13$ ，总共有 $\frac{(1+13) \times 13}{2}+4=95$ ，不满足 $N >100$,
④ $1+2+4+8+16+(-2-n)=0$ ，解得：$n=29$ ，总共有 $\frac{(1+29) \times 29}{2}+5=440$ ，满足 $N>100$,
∴该款软件的激活码440．
故选：A．
【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前 n 项和，考查计算能力 ，属于难题．