已知 A、 B 分别为椭圆 E: x^ 2 a^ 2 +y…——2020 高考数学第 20 题答案解析

【答案】①$\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$ ；（2）证明详见解析．

## 【解析】

## 【分析】

①由已知可得：$A(-a, 0)$ ，
$B(a, 0), G(0,1)$ ，即可求得 $\overrightarrow{A G} \cdot \overrightarrow{G B}=a^{2}-1$ ，结合已知即可求得：$a^{2}=9$ ，问题得解．
（2）设 $P\left(6, y_{0}\right)$ ，可得直线 $A P$ 的方程为：$y=\frac{y_{0}}{9}(x+3)$ ，联立直线 $A P$ 的方程与椭圆方程即可求得点 $C$ 的坐标为 $\left(\frac{-3 y_{0}{ }^{2}+27}{y_{0}{ }^{2}+9}, \frac{6 y_{0}}{y_{0}{ }^{2}+9}\right)$ ，同理可得点 $D$ 的坐标为 $\left(\frac{3 y_{0}{ }^{2}-3}{y_{0}{ }^{2}+1}, \frac{-2 y_{0}}{y_{0}{ }^{2}+1}\right)$ ，即可表示出直线 $C D$ 的方程，整理直线 $C D$ 的方程可得： $y=\frac{4 y_{0}}{3\left(3-y_{0}{ }^{2}\right)}\left(x-\frac{3}{2}\right)$ ，命题得证．

【详解】（1）依据题意作出如下图象：

由椭圆方程 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a>1)$ 可得：$A(-a, 0), B(a, 0), G(0,1)$
$\therefore \overrightarrow{A G}=(a, 1), \overrightarrow{G B}=(a,-1)$
$\therefore \overrightarrow{A G} \cdot \overrightarrow{G B}=a^{2}-1=8, \quad \therefore a^{2}=9$
∴ 椭圆方程为：$\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$
（2）证明：设 $P\left(6, y_{0}\right)$ ，

则直线 $A P$ 的方程为：$y=\frac{y_{0}-0}{6-(-3)}(x+3)$ ，即：$y=\frac{y_{0}}{9}(x+3)$
联立直线 $A P$ 的方程与椭圆方程可得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1 \\ y=\frac{y_{0}}{9}(x+3)\end{array}\right.$ ，整理得：
$\left(y_{0}{ }^{2}+9\right) x^{2}+6 y_{0}{ }^{2} x+9 y_{0}{ }^{2}-81=0$ ，解得：$x=-3$ 或 $x=\frac{-3 y_{0}{ }^{2}+27}{y_{0}{ }^{2}+9}$
将 $x=\frac{-3 y_{0}{ }^{2}+27}{y_{0}{ }^{2}+9}$ 代入直线 $y=\frac{y_{0}}{9}(x+3)$ 可得：$y=\frac{6 y_{0}}{y_{0}{ }^{2}+9}$
所以点 $C$ 的坐标为 $\left(\frac{-3 y_{0}{ }^{2}+27}{y_{0}{ }^{2}+9}, \frac{6 y_{0}}{y_{0}{ }^{2}+9}\right)$ ．
同理可得：点 $D$ 的坐标为 $\left(\frac{3 y_{0}{ }^{2}-3}{y_{0}{ }^{2}+1}, \frac{-2 y_{0}}{y_{0}{ }^{2}+1}\right)$
∴ 直线 $C D$ 的方程为：$y-\left(\frac{-2 y_{0}}{y_{0}{ }^{2}+1}\right)=\frac{\frac{6 y_{0}}{y_{0}{ }^{2}+9}-\left(\frac{-2 y_{0}}{y_{0}{ }^{2}+1}\right)}{\frac{-3 y_{0}{ }^{2}+27}{y_{0}{ }^{2}+9}-\frac{3 y_{0}{ }^{2}-3}{y_{0}{ }^{2}+1}}\left(x-\frac{3 y_{0}{ }^{2}-3}{y_{0}{ }^{2}+1}\right)$ ，
整理可得：$y+\frac{2 y_{0}}{y_{0}{ }^{2}+1}=\frac{8 y_{0}\left(y_{0}{ }^{2}+3\right)}{6\left(9-y_{0}{ }^{4}\right)}\left(x-\frac{3 y_{0}{ }^{2}-3}{y_{0}{ }^{2}+1}\right)=\frac{8 y_{0}}{6\left(3-y_{0}{ }^{2}\right)}\left(x-\frac{3 y_{0}{ }^{2}-3}{y_{0}{ }^{2}+1}\right)$
整理得：$y=\frac{4 y_{0}}{3\left(3-y_{0}{ }^{2}\right)} x+\frac{2 y_{0}}{y_{0}{ }^{2}-3}=\frac{4 y_{0}}{3\left(3-y_{0}{ }^{2}\right)}\left(x-\frac{3}{2}\right)$
故直线 $C D$ 过定点 $\left(\frac{3}{2}, 0\right)$
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题．