19．（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)$ ．已知 $(1, e)$ 和 $\left(e, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 都在椭圆上，其中 $e$ 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的离心率；
②设 $A, B$ 是椭圆上位于 $x$ 轴上方的两点，且直线 $A F_{1}$
与直线 $B F_{2}$ 平行，$A F_{2}$ 与 $B F_{1}$ 交于点 $P$ ．
（i）若 $A F_{1}-B F_{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求直线 $A F_{1}$ 的斜率；
（ii）求证：$P F_{1}+P F_{2}$ 是定值．
参考答案
(1) ∴ 椭圆的方程为 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{2}+\mathrm{y}^{2}=1$ ．; (2) ∴ 直线 $\mathrm{AF}_{1}$ 的斜率为 $\frac{1}{\mathrm{~m}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．