2012_江苏卷 (2012)
19．（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)$ ．已知 $(1, e)$ 和 $\left(e, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 都在椭圆上，其中 $e$ 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的离心率；
②设 $A, B$ 是椭圆上位于 $x$ 轴上方的两点，且直线 $A F_{1}$
与直线 $B F_{2}$ 平行，$A F_{2}$ 与 $B F_{1}$ 交于点 $P$ ．
（i）若 $A F_{1}-B F_{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求直线 $A F_{1}$ 的斜率；
（ii）求证：$P F_{1}+P F_{2}$ 是定值．
【解答】
（16分）（2012 • 江苏）如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>b>0$ ）的左、右焦点分别为 $\mathrm{F}_{1}(-\mathrm{c}, 0), \mathrm{F}_{2}(\mathrm{c}, 0)$ 。已知 $(1, \mathrm{e})$ 和 $\left(\mathrm{e}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 都在椭圆上，其中 e 为椭圆的离心率．
①求椭圆的方程；
②设 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且直线 $\mathrm{AF}_{1}$ 与直线 $\mathrm{BF}_{2}$ 平行， $\mathrm{AF}_{2}$ 与 $\mathrm{BF}_{1}$ 交于点 $P$ 。
（i）若 $\mathrm{AF}_{1}-\mathrm{BF}_{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求直线 $\mathrm{AF}_{1}$ 的斜率；
（ii）求证： $\mathrm{PF}_{1}+\mathrm{PF}_{2}$ 是定值。
考点直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．
：
专题圆锥曲线的定义、性质与方程．
：
分析①根据椭圆的性质和已知（1，e）和（e，$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ），都在椭圆上列式求解。
②（i）设 $\mathrm{AF}_{1}$ 与 $\mathrm{BF}_{2}$ 的方程分别为 $\mathrm{x}+1=\mathrm{my}, \mathrm{x}-1=\mathrm{my}$ ，与椭圆方程联立，求出 $\left|\mathrm{AF}_{1}\right| ,\left|\mathrm{BF}_{2}\right|$ ，根据已知条件 $\mathrm{AF}_{1}-\mathrm{BF}_{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，用待定系数法求解；
（ii）利用直线 $\mathrm{AF}_{1}$ 与直线 $\mathrm{BF}_{2}$ 平行，点 B 在椭圆上知，可得 $\mathrm{PF}_{1}=\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AF}_{1}+\mathrm{BF}_{2}} \times\left(2 \sqrt{2}-\mathrm{BF}_{2}\right)$
， $\mathrm{PF}_{2}=\frac{\mathrm{BF}_{2}}{\mathrm{AF}_{1}+\mathrm{BF}_{2}} \times\left(2 \sqrt{2}-\mathrm{AF}_{1}\right)$ ，由此可求得 $\mathrm{PF}_{1}+\mathrm{PF}_{2}$ 是定值。
解答
①解：由题设知 $a^{2}=b^{2}+c^{2}, e=\frac{c}{a}$ ，由点（1，e）在椭圆上，得 $\frac{1}{a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2} b^{2}}=1, \therefore b=1, c^{2}=a^{2}-1$ ．
由点 $\left(e, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 在椭圆上，得 $\frac{e^{2}}{a^{2}}+\frac{3}{4 b^{2}}=1$
$\therefore \frac{\mathrm{a}^{2}-1}{\mathrm{a}^{4}}+\frac{3}{4}=1, \quad \therefore \mathrm{a}^{2}=2$
∴ 椭圆的方程为 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{2}+\mathrm{y}^{2}=1$ ．
②解：由①得 $F_{1}(-1,0), F_{2}(1,0)$ ，
又 ∵ 直线 $\mathrm{AF}_{1}$ 与直线 $\mathrm{BF}_{2}$ 平行，∴ 设 $\mathrm{AF}_{1}$ 与 $\mathrm{BF}_{2}$ 的方程分别为 $\mathrm{x}+1=\mathrm{my}, \mathrm{x}-1=\mathrm{my}$ ．
设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), y_{1}>0, y_{2}>0$ ，
$\therefore$ 由 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x_{1}{ }^{2}}{2}+y_{1}{ }^{2}=1 \\ x_{1}+1=m y_{1}\end{array}\right.$ ，可得 $\left(m^{2}+2\right) y_{1}{ }^{2}-2 m y_{1}-1=0$ ．
$\therefore y_{1}=\frac{m+\sqrt{2 m^{2}+2}}{m^{2}+2}, y_{1}=\frac{m-\sqrt{2 m^{2}+2}}{m^{2}+2}$（舍），
$\therefore\left|A F_{1}\right|=\sqrt{m^{2}+1} \times\left|0-y_{1}\right|=\frac{\sqrt{2}\left(m^{2}+1\right)+m \sqrt{m^{2}+1}}{m^{2}+2}(1)$
同理 $\left|\mathrm{BF}_{2}\right|=\frac{\sqrt{2}\left(\mathrm{~m}^{2}+1\right)-\mathrm{m} \sqrt{\mathrm{m}^{2}+1}}{\mathrm{~m}^{2}+2}$（2）
（i）由①②得 $\left|A F_{1}\right|-\left|B F_{2}\right|=\frac{2 m \sqrt{m^{2}+1}}{m^{2}+2}, \therefore \frac{2 m \sqrt{m^{2}+1}}{m^{2}+2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，解得 $m^{2}=2$ ．
∵ 注意到 $m>0, \therefore m=\sqrt{2}$ ．
∴ 直线 $\mathrm{AF}_{1}$ 的斜率为 $\frac{1}{\mathrm{~m}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（ii）证明：∵ 直线 $\mathrm{AF}_{1}$ 与直线 $\mathrm{BF}_{2}$ 平行，$\therefore \frac{\mathrm{PB}}{\mathrm{PF}_{1}}=\frac{\mathrm{BF}_{2}}{\mathrm{AF}_{1}}$ ，即 $\mathrm{PF}_{1}=\frac{\mathrm{AF}_{1}}{\mathrm{AF}_{1}+\mathrm{BF}_{2}} \times \mathrm{BF}_{1}$ ．
由点 B 在椭圆上知， $\mathrm{BF}_{1}+\mathrm{BF}_{2}=2 \sqrt{2}, \therefore \mathrm{PF}_{1}=\frac{\mathrm{AF}_{1}}{\mathrm{AF}_{1}+\mathrm{BF}_{2}} \times\left(2 \sqrt{2}-\mathrm{BF}_{2}\right)$ ．
同理 $\mathrm{PF}_{2}=\frac{\mathrm{BF}_{2}}{\mathrm{AF}_{1}+\mathrm{BF}_{2}} \times\left(2 \sqrt{2}-\mathrm{AF}_{1}\right)$ 。
$\therefore \mathrm{PF}_{1}+\mathrm{PF}_{2}=\frac{\mathrm{AF}_{1}}{\mathrm{AF}_{1}+\mathrm{BF}_{2}} \times\left(2 \sqrt{2}-\mathrm{BF}_{2}\right)+\frac{\mathrm{BF}_{2}}{\mathrm{AF}_{1}+\mathrm{BF}_{2}} \times\left(2 \sqrt{2}-\mathrm{AF}_{1}\right)=2 \sqrt{2}-\frac{2 \mathrm{AF}_{1} \times \mathrm{BF}_{2}}{\mathrm{AF}_{1}+\mathrm{BF}_{2}}$
由①②得，$A F_{1}+B F_{2}=\frac{2 \sqrt{2}\left(m^{2}+1\right)}{m^{2}+2}, A F_{1} \times B F_{2}=\frac{m^{2}+1}{m^{2}+2}$ ，
$\therefore \mathrm{PF}_{1}+\mathrm{PF}_{2}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ．
$\therefore \mathrm{PF}_{1}+\mathrm{PF}_{2}$ 是定值．
点评本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．