（本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 A B C-A…——2019 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
如图，在直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$D, E$ 分别为 $B C, A C$ 的中点，$A B=B C$ ．

求证：（1）$A_{1} B_{1} / /$ 平面 $D E C_{1}$ ；
②$B E \perp C_{1} E$ ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．

## 【解析】

## 【分析】

（1）由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；
②由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可．
【详解】（1）因为 $D, E$ 分别为 $B C, A C$ 的中点，

所以 $E D / / A B$ ．

在直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A B / / A_{1} B_{1}$ ，
所以 $A_{1} B_{1} / / E D$ ．
又因为 $E D \subset$ 平面 $D E C_{1}, A_{1} B_{1} \not \subset$ 平面 $D E C_{1}$ ，
所以 $A_{1} B_{1} / /$ 平面 $D E C_{1}$ ．
（2）因为 $A B=B C, E$ 为 $A C$ 的中点，所以 $B E \perp A C$ ．
因为三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 是直棱柱，所以 $C C_{1} \perp$ 平面 $A B C$ ．
又因为 $B E \subset$ 平面 $A B C$ ，所以 $C C_{1} \perp B E$ ．
因为 $C_{1} C \subset$ 平面 $A_{1} A C C_{1}, A C \subset$ 平面 $A_{1} A C C_{1}, C_{1} C \cap A C=C$ ，
所以 $B E \perp$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ ．
因为 $C_{1} E \subset$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ ，所以 $B E \perp C_{1} E$ ．
【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．