2020_新课标 II 卷 (2020·文)
19．已知随圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_{2}$ 的焦点重合，$C_{1}$ 的中心与 $C_{2}$ 的顶点重合．过 $F$ 且与 $x$ 轴重直的直线交 $C_{1}$ 于 $A, B$ 两点，交 $C_{2}$ 于 $C, D$ 两点，且 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ ．
（1）求 $C_{1}$ 的离心率；
（2）若 $C_{1}$ 的四个顶点到 $C_{2}$ 的准线距离之和为 12 ，求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的标准方程．
【答案】
①$\frac{1}{2}$ ；
②$C_{1}: \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1, C_{2}: y^{2}=8 x$ ．
## 【解析】
【分析】
（1）根据题意求出 $C_{2}$ 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 $A, C$ 在第一象限，运用代入法求出 $A, B, C, D$ 点的纵坐标，根据 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ ，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；
②由①可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；
【详解】解：（1）因为椭圆 $C_{1}$ 的右焦点坐标为：$F(\mathrm{c}, 0)$ ，所以抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$ ，其中 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ ．
不妨设 $A, C$ 在第一象限，因为椭圆 $C_{1}$ 的方程为：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ，
所以当 $x=c$ 时，有 $\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow y= \pm \frac{b^{2}}{a}$ ，因此 $A, B$ 的纵坐标分别为 $\frac{b^{2}}{a},-\frac{b^{2}}{a}$ ；
又因为抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$ ，所以当 $x=c$ 时，有 $y^{2}=4 c \cdot c \Rightarrow y= \pm 2 c$ ，
所以 $C, D$ 的纵坐标分别为 $2 c,-2 c$ ，故 $|A B|=\frac{2 b^{2}}{a},|C D|=4 c$ ．
由 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ 得 $4 c=\frac{8 b^{2}}{3 a}$ ，即 $3 \cdot \frac{c}{a}=2-2\left(\frac{c}{a}\right)^{2}$ ，解得 $\frac{c}{a}=-2$（舍去），$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ ．
所以 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ．
②由①知 $a=2 c, b=\sqrt{3} c$ ，故 $C_{1}: \frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$ ，所以 $C_{1}$ 的四个顶点坐标分
别为 $(2 c, 0),(-2 c, 0),(0, \sqrt{3} c),(0,-\sqrt{3} c), C_{2}$ 的准线为 $x=-c$ ．
由已知得 $3 c+c+c+c=12$ ，即 $c=2$ ．
所以 $C_{1}$ 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1, C_{2}$ 的标准方程为 $y^{2}=8 x$ ．
【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力．