（本小题满分 12 分） 设椭圆 C_ 1 : x^ 2…——2010 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
（本小题满分 12 分）
设椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，抛物线 $C_{2}: x^{2}+b y=b^{2}$ 。
（3）若 $C_{2}$ 经过 $C_{1}$ 的两个焦点，求 $C_{1}$ 的离心率；
④设 $\mathrm{A}(0, \mathrm{~b}), Q\left(3 \sqrt{3}, \frac{5}{4}\right)$ ，又 $\mathrm{M} , \mathrm{~N}$ 为 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 不在 y 轴上的两个交点，若 $\triangle \mathrm{AMN}$ 的垂心为 $B\left(0, \frac{3}{4} b\right)$ ，且 $\triangle \mathrm{QMN}$ 的重心在 $C_{2}$ 上，求椭圆 $C_{1}$ 和抛物线 $C_{2}$ 的方程。

【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。
（1）由已知椭圆焦点（ $\mathrm{c}, 0$ ）在抛物线上，可得：$c^{2}=b^{2}$ ，由
$a^{2}=b^{2}+c^{2}=2 c^{2}$ ，有 $\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{2} \Rightarrow e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。
②由题设可知 $M , N$ 关于 $y$ 轴对称，设 $M\left(-x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{1}, y_{1}\right)\left(x_{1}>0\right)$ ，由 $\triangle A M N$ 的垂心为 B ，有
$\overrightarrow{B M} \cdot \overrightarrow{A N}=0 \Rightarrow-x_{1}^{2}+\left(y_{1}-\frac{3}{4} b\right)\left(y_{1}-b\right)=0$ 。

由点 $N\left(x_{1}, y_{1}\right)$ 在抛物线上，$x_{1}^{2}+b y_{1}=b^{2}$ ，解得：$y_{1}=-\frac{b}{4}$ 或 $y_{1}=b$（舍去）

故 $x_{1}=\frac{\sqrt{5}}{2} b, M\left(-\frac{\sqrt{5}}{2} b,-\frac{b}{4}\right), N\left(\frac{\sqrt{5}}{2} b,-\frac{b}{4}\right)$ ，得 $\triangle Q M N$ 重心坐标 $\left(\sqrt{3}, \frac{b}{4}\right)$ ．
由重心在抛物线上得： $3+\frac{b^{2}}{4}=b^{2}$ ，所以 $b=2, M\left(-\sqrt{5},-\frac{1}{2}\right), N\left(\sqrt{5},-\frac{1}{2}\right)$ ，又因为
M、 N 在椭圆上得：$a^{2}=\frac{16}{3}$ ，椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{\frac{16}{3}}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ，抛物线方程为 $x^{2}+2 y=4$ 。