2010 高考数学第 21 题答案解析

21．（本小题满分 12 分）
设椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，抛物线 $C_{2}: x^{2}+b y=b^{2}$ 。
（1）若 $C_{2}$ 经过 $C_{1}$ 的两个焦点，求 $C_{1}$ 的离心率；
②设 $\mathrm{A}(0, \mathrm{~b}), Q\left(3 \sqrt{3}, \frac{5}{4}\right)$ ，又 $\mathrm{M} , \mathrm{~N}$ 为 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 不在 y 轴上的两个交点，若 $\triangle \mathrm{AMN}$ 的垂心为 $B\left(0, \frac{3}{4} b\right)$ ，且 $\triangle \mathrm{QMN}$ 的重心在 $C_{2}$ 上，求椭圆 $C_{1}$ 和抛物线 $C_{2}$ 的方程。