2021_上海卷 (2021)
11．已知椭圆 $x^{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0<b<1)$ 的左、右焦点为 $F_{1} , F_{2}$ ，以 $O$ 为顶点，$F_{2}$ 为焦点作抛物线交椭圆于 $P$ ，且 $\angle P F_{1} F_{2}=45^{\circ}$ ，则抛物线的准线方程是＿$x=1-\sqrt{2}$
【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线 $P F_{1}$ 的方程并与抛物线联立，求出点 $P$ 的坐标，由此可得 $P F_{2} \perp F_{1} F_{2}$ ，进而可以求出 $P F_{1}, ~ P F_{2}$ 的长度 ，再由椭圆的定义即可求解。
$x=1-\sqrt{2}$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解析】：设 $F_{1}(-c, 0), ~ F_{2}(c, 0)$ ，则抛物线 $y^{2}=4 c x$ ，
直线 $P F_{1}: y=x+c$ ，联立方程组 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=4 c x \\ y=x+c\end{array}\right.$ ，解得 $x=c, ~ y=2 c$ ，
所以点 $P$ 的坐标为 $(c, 2 c)$ ，所以 $P F_{2} \perp F_{1} F_{2}$ ，又 $P F_{2}=F_{2} F_{1}=2 c$ ，所以 $P F_{1}=2 \sqrt{2} c$
所以 $P F_{1}=2 \sqrt{2} c$ ，所以 $P F_{1}+P F_{2}=(2+2 \sqrt{2}) c=2 a=2$ ，
则 $c=\sqrt{2}-1$ ，
所以抛物线的准线方程为：$x=-c=1-\sqrt{2}$ ，
故答案为：$x=1-\sqrt{2}$ 。
【归纳总结】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．