（本小题满分 13 分） 已知椭圆 E: x^ 2 a^…——2016 高考数学第 20 题答案解析

【答案】①$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ ；②证明详见解析．

## 【解析】

试题分析：（I）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是正三角形的三个顶点可得 $a=2 b$ ，椭圆的标准方程中可减少一个参数，再利用 $P\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ 在椭圆上，可解出 b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（II）首先设出直线 $l$ 方程为 $y=\frac{1}{2} x+m$ ，同时设交点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，把 $l$ 方程与椭圆方程联立后消去 $y$ 得 $x$ 的二次方程，利用根与系数关系，得 $x_{1}+x_{2}, x_{1} x_{2}$ ，由 $|M A| \cdot|M B|=\frac{1}{4}|A B|^{2}$ 求得 $|M A| \cdot|M B|$（用 $m$ 表示），由 $O M$方程 $y=-\frac{1}{2} x$ 具体地得出 $C, D$ 坐标，也可计算出 $|M C| \cdot|M D|$ ，从而证得相等。
试题解析：（I）由已知，$a=2 b$ ．
又椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 过点 $P\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ ，故 $\frac{3}{4 b^{2}}+\frac{\frac{1}{4}}{b^{2}}=1$ ，解得 $b^{2}=1$ ．
所以椭圆 $E$ 的方程是 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ ．
（II）设直线 $l$ 的方程为 $y=\frac{1}{2} x+m(m \neq 0), A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
由方程组 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1, \\ y=\frac{1}{2} x+m,\end{array}\right.$ 得 $x^{2}+2 m x+2 m^{2}-2=0$ ，（1）
方程（1）的判别式为 $\Delta=4\left(2-m^{2}\right)$ ，由 $\Delta>0$ ，即 $2-m^{2}>0$ ，解得 $-\sqrt{2}由①得 $x_{1}+x_{2}=-2 m, x_{1} x_{2}=2 m^{2}-2$ ．
所以 $M$ 点坐标为 $\left(-m, \frac{m}{2}\right)$ ，直线 $O M$ 方程为 $y=-\frac{1}{2} x$ ，
由方程组 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1, \\ y=-\frac{1}{2} x,\end{array}\right.$ 得 $C\left(-\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right), D\left(\sqrt{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ．

所以 $|M C| \cdot|M D|=\frac{\sqrt{5}}{2}(-m+\sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}(\sqrt{2}+m)=\frac{5}{4}\left(2-m^{2}\right)$ ．
又 $|M A| \cdot|M B|=\frac{1}{4}|A B|^{2}=\frac{1}{4}\left[\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}\right]=\frac{5}{16}\left[\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}\right]$

$=\frac{5}{16}\left[4 m^{2}-4\left(2 m^{2}-2\right)\right]=\frac{5}{4}\left(2-m^{2}\right)$.
所以 $|M A| \cdot|M B|=|M C| \cdot|M D|$ ．
考点：椭圆的标准方程及其几何性质。
【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想。在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得 $x_{1}+x_{2}, x_{1} x_{2}$ ，再把 $|M A| \cdot|M B|$ 用 $x_{1}, x_{2}$ 表示出来，并代入刚才的 $x_{1}+x_{2}, x_{1} x_{2}$ ，这种方法是解析几何中的＂设而不求＂法．可减少计算量，简化解题过程．