2017_新课标 I 卷 (2017·理)
15．（5分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右顶点为A，以 $A$ 为圆心，$b$ 为半径作圆 $A$ ，圆 $A$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M$ 、 $N$ 两点．若 $\angle M A N=$
$60^{\circ}$ ，则C的离心率为 $\_\_\_\_$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．
$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
【考点】KC：双曲线的性质．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出 $a, c$ 的关系，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右顶点为 $A(a, 0)$ ，
以 $A$ 为圆心，$b$ 为半径做圆 $A$ ，圆 $A$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M , N$ 两点．
若 $\angle M A N=60^{\circ}$ ，可得 $A$ 到渐近线 $b x+a y=0$ 的距离为：$b \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} b$ ，
可得：$\frac{|a b|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2} b$ ，即 $\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，可得离心率为：$e=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．
故答案为：$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．
只讲你不懂的那一步，不用把整道题重讲一遍。答案和完整解析就在上面，不用聊天也能看。
可以再试一道相同方法、不同题面的题，确认是否真正掌握。
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
按本题考点（双曲线）一句话出一份真题练习卷或讲义，先看题目再生成 PDF，打印出来做。