函数 f(x)=x^ 3 +a x+2 存在 3 个零点，…——2023 高考数学第 8 题答案解析

【答案】B
【解析】
【分析】写出 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}+a$ ，并求出极值点，转化为极大值大于 0 且极小值小于 0 即可．
【详解】 $f(x)=x^{3}+a x+2$ ，则 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}+a$ ，
若 $f(x)$ 要存在 3 个零点，则 $f(x)$ 要存在极大值和极小值，则 $a<0$ ，
令 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}+a=0$ ，解得 $x=-\sqrt{\frac{-a}{3}}$ 或 $\sqrt{\frac{-a}{3}}$ ，
且当 $x \in\left(-\infty,-\sqrt{\frac{-a}{3}}\right) \cup\left(\sqrt{\frac{-a}{3}},+\infty\right)$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，
当 $x \in\left(-\sqrt{\frac{-a}{3}}, \sqrt{\frac{-a}{3}}\right), f^{\prime}(x)<0$ ，
故 $f(x)$ 的极大值为 $f\left(-\sqrt{\frac{-a}{3}}\right)$ ，极小值为 $f\left(\sqrt{\frac{-a}{3}}\right)$ ，
若 $f(x)$ 要存在 3 个零点，则 $\left\{\begin{array}{l}f\left(-\sqrt{\frac{-a}{3}}\right)>0 \\ f\left(\sqrt{\frac{-a}{3}}\right)<0\end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{3} \sqrt{\frac{-a}{3}}-a \sqrt{\frac{-a}{3}}+2>0 \\ \frac{-a}{3} \sqrt{\frac{-a}{3}}+a \sqrt{\frac{-a}{3}}+2<0\end{array}\right.$ ，解得 $a<-3$ ，
故选：B．