已知函数 f(x)=(x-1) ln x-x-1 ．证明：…——2019 高考数学第 21 题答案解析

【答案】（1）见详解；（2）见详解

## 【解析】

【分析】
（1）先对函数 $f(x)$ 求导，根据导函数的单调性，得到存在唯一 $x_{0}$ ，使得 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ，进而可得判断函数 $f(x)$ 的单调性，即可确定其极值点个数，证明出结论成立；
（2）先由①的结果，得到 $f\left(x_{0}\right)0$ ，得到 $f(x)=0$ 在 $\left(\boldsymbol{x}_{\mathbf{0}},+\infty\right)$ 内存在唯一实根，记作 $x=\alpha$ ，再求出 $f\left(\frac{1}{\alpha}\right)=0$ ，即可结合题意，说明结论成立．

【详解】①由题意可得，$f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$ ，

由 $f(x)=(x-1) \ln x-x-1$ ，
得 $f^{\prime}(x)=\ln x+\frac{x-1}{x}-1=\ln x-\frac{1}{x}$ ，
显然 $f^{\prime}(x)=\ln x-\frac{1}{x}$ 单调递增；
又 $f^{\prime}(1)=-1<0, f^{\prime}(2)=\ln 2-\frac{1}{2}=\frac{\ln 4-1}{2}>0$ ，
故存在唯一 $x_{0}$ ，使得 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ；
又当 $x>x_{0}$ 时，$f^{\prime}\left(x_{0}\right)>0$ ，函数 $f(x)$ 单调递增；当 $0

因此，$f(x)$ 存在唯一的极值点；
②由①知，$f\left(x_{0}\right)0$ ，

所以 $f(x)=0$ 在 $\left(\boldsymbol{x}_{\mathbf{0}},+\infty\right)$ 内存在唯一实根，记作 $x=\alpha$ ．
由 $1又 $f\left(\frac{1}{\alpha}\right)=\left(\frac{1}{\alpha}-1\right) \ln \frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\alpha}-1=\frac{f(\alpha)}{\alpha}=0$ ，
故 $\frac{1}{\alpha}$ 是方程 $f(x)=0$ 在 $\left(0, x_{0}\right)$ 内的唯一实根；
综上，$f(x)=0$ 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．

【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值、以及函数零点的问题，属于常考题型．