导数在研究函数中的作用　·　历年高考数学真题与解析

10． 已知 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x>0$ 时，$f(x)=\left(x^{2}-3\right) e^{x}+2$ ，则

$13. x = 2$是 $f(x) =(x$−1)(x−2)(x − a)的极值点，则 f(0) = .

19. 已知 $f ( x ) = x ^ { 2 } - ( m + 2 ) x + m \mathrm { l n } x , m \in R$

(1)若 $f ( 1 ) = 0$ ,求不等式 $f ( x ) \leqslant x ^ { 2 } - 1$ 的解集；

(2) 若函数 $y = f ( x )$ 满足在 $( 0 , + \infty )$ 上存在极大值，求m的取值范围；

10．设函数 $f(x)=(x-1)^{2}(x-4)$ ，则（ ）

11．设函数 $f(x)=2 x^{3}-3 a x^{2}+1$ ，则 ()

14．曲线 $y=x^{3}-3 x$ 与 $y=-(x-1)^{2}+a$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个不同的交点，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$。

17．已知函数 $f(x)=a(x-1)-\ln x+1$ ．
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若 $a \leq 2$ 时，证明：当 $x>1$ 时，$f(x)<\mathrm{e}^{x-1}$ 恒成立．

18．已知函数 $f(x)=\ln \frac{x}{2-x}+a x+b(x-1)^{3}$
（1）若 $b=0$ ，且 $f^{\prime}(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的最小值；
（2）证明：曲线 $y=f(x)$ 是中心对称图形；
（3）若 $f(x)>-2$ 当且仅当 $1<x<2$ ，求 $b$ 的取值范围．

10．已知函数 $f(x)=x^{3}-x+1$ ，则（ ）

11．函数 $f(x)=\cos x+(x+1) \sin x+1$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 的最小值、最大值分别为（ ）

12．已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$ ，记 $g(x)=f^{\prime}(x)$ ，若 $f\left(\frac{3}{2}-2 x\right)$ ， $g(2+x)$ 均为偶函数，则（ ）

12．已知 $a=\frac{31}{32}, b=\cos \frac{1}{4}, c=4 \sin \frac{1}{4}$ ，则（）

16．已知 $x=x_{1}$ 和 $x=x_{2}$ 分别是函数 $f(x)=2 a^{x}-\mathrm{e} x^{2} \quad(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 的极小值点和极大值点．若 $x_{1}<x_{2}$ ，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$。

20．已知函数 $f(x)=a x-\frac{1}{x}-(a+1) \ln x$ ．
（1）当 $a=0$ 时，求 $f(x)$ 的最大值；
（2）若 $f(x)$ 恰有一个零点，求 $a$ 的取值范围．

6．当 $x=1$ 时，函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}$ 取得最大值 -2 ，则 $f^{\prime}(2)=~()$

8．当 $x=1$ 时，函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}$ 取得最大值 -2 ，则 $f^{\prime}(2)=~()$

15．已知函数 $f(x)=|\lg x|-k x-2$ ，给出下列四个结论：
①若 $k=0$ ，则 $f(x)$ 有两个零点；
②$\exists k<0$ ，使得 $f(x)$ 有一个零点；
③$\exists k<0$ ，使得 $f(x)$ 有三个零点；
④$\exists k>0$ ，使得 $f(x)$ 有三个零点。
以上正确结论得序号是 $\_\_\_\_$ ．

19．已知函数 $f(x)=\frac{3-2 x}{x^{2}+a}$ ．
（1）若 $a=0$ ，求 $y=f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处切线方程；
（2）若函数 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极值，求 $f(x)$ 的单调区间，以及最大值和最小值．

20．设函数 $f(x)=a^{2} x^{2}+a x-3 \ln x+1$ ，其中 $a>0$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $y=f(x)$ 的图象与 $x$ 轴没有公共点，求 $a$ 的取值范围．

20．设函数 $f(x)=\ln (a-x)$ ，已知 $x=0$ 是函数 $y=x f(x)$ 的极值点．

（1）求 $a$ ；
②设函数 $g(x)=\frac{x+f(x)}{x f(x)}$ ．证明：$g(x)<1$ ．

21.

一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 0 代，经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2 代⋯⋯，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 $X$ 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数，$P(X=i)=p_{i}(i=0,1,2,3)$ ．
（1）已知 $p_{0}=0.4, p_{1}=0.3, p_{2}=0.2, p_{3}=0.1$ ，求 $E(X)$ ；
②设 $p$ 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，$p$ 是关于 $x$ 的方程：$p_{0}+p_{1} x+p_{2} x^{2}+p_{3} x^{3}=x$的一个最小正实根，求证：当 $E(X) \leq 1$ 时，$p=1$ ，当 $E(X)>1$ 时，$p<1$ ；
（3）根据你的理解说明②问结论的实际含义。

20．已知函数 $f(x)=e^{x}-a(x+2)$ ．
（1）当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围．

21．已知函数 $f(x)=2 \ln x+1$ ．
（1）若 $f(x) \leq 2 x+c$ ，求 $c$ 的取值范围；
②设 $a>0$ 时，讨论函数 $g(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 的单调性．

21．已知函数 $f(x)=\sin ^{2} x \sin 2 x$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 在区间 $(0, \pi)$ 的单调性；
（2）证明：$|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$ ；
③设 $n \in N^{*}$ ，证明： $\sin ^{2} x \sin ^{2} 2 x \sin ^{2} 4 x \ldots \sin ^{2} 2^{n} x \leq \frac{3^{n}}{4^{n}}$ ．

10．如图，正方形 $O A B C$ 的边长为 $a(a>1)$ ，函数 $y=3 x^{2}$ 交 $A B$ 于点 $Q$ ，函数 $y=x^{-\frac{1}{2}}$ 与 $B C$ 交于点 $P$ ，当 $|A Q|+|C P|$最小时，$a$ 的值为 $\_\_\_\_$

13．（5 分）设函数 $f(x)=e^{x}+a e^{-x}$（ $a$ 为常数）．若 $f(x)$ 为奇函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$ －1 ；若 $f$ （ $x$ ）是 $R$ 上的增函数，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （ $-\infty$ ，0］ ．

9．已知 $a, b \in R$, 函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, x<0 \\ \frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2}(a+1) x^{2}+a x, x \geq 0\end{array}\right.$ ，若函数 $y=f(x)-a x-b$ 恰有三个零点，则

7．（5分）函数 $y=-x^{4}+x^{2}+2$ 的图象大致为（ ）

9．（5分）函数 $y=-x^{4}+x^{2}+2$ 的图象大致为（ ）

14．（5 分）设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{3}-3 x, x \leqslant a \\ -2 x, x>a\end{array}\right.$ ．
（1）若 $a=0$ ，则 $f(x)$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 2 ；
（2）若 $f(x)$ 无最大值，则实数 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （ $-\infty,-1$ ）。

6．已知 $a$ 函数 $f(x)=x^{3}-12 x$ 的极小值点，则 $a=$

10．若定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=-1$ ，其导函数 $f^{\prime}(x)$ 满足 $f^{\prime}(x)>k>1$ ，则下列结论中一定错误的是

12．对二次函数 $f(x)=a x^{2}+b x+c$（ $a$ 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）

12．＂对任意 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), k \sin x \cos x<x$＂是＂$k<1$＂的

12．（5分）设函数 $f^{\prime}(x)$ 是奇函数 $f(x)(x \in R)$ 的导函数，$f(-1)=0$ ，当 $x >0$ 时，$x f^{\prime}(x)-f(x)<0$ ，则使得 $f(x)>0$ 成立的 $x$ 的取值范围是 $($

12．（5分）设函数 $f(x)=e^{x}(2 x-1)-a x+a$ ，其中 $a<1$ ，若存在唯一的整数 $x$

0 使得 $f\left(x_{0}\right)<0$ ，则 $a$ 的取值范围是（ ）

12．（5分）设函数 $f(x)=\ln (1+|x|)-\frac{1}{1+x^{2}}$ ，则使得 $f(x)>f(2 x-1)$ 成立的x的取值范围是（）

15、已知函数 $f(x)=2^{x}, g(x)=x^{2}+a x$（其中 $a \in R$ ）．对于不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，设 $m=\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}, n= \frac{g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}$，现有如下命题：
①对于任意不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，都有 $m>0$；
②对于任意的 $a$ 及任意不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，都有 $n>0$；
③对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，使得 $m=n$；
④对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，使得 $m=-n$．
其中真命题有 $\_\_\_\_$ （写出所有真命题的序号）．

15．已知函数 $f(x)=2^{x}, g(x)=x^{2}+a x$（其中 $a \in R$ ）．对于不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，设 $m=\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}$， $n=\frac{g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}$.
现有如下命题：
①对于任意不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，都有 $m>0$；
②对于任意的 $a$ 及任意不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，都有 $n>0$；
③对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，使得 $m=n$；
④对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，使得 $m=-n$．
其中的真命题有 $\_\_\_\_$ （写出所有真命题的序号）．

19．（13 分）设函数 $f(x)=\frac{x^{2}}{2}-k \ln x, k>0$ ．
（1）求 $f(x)$ 的单调区间和极值；
（2）证明：若 $f(x)$ 存在零点，则 $f(x)$ 在区间 $(1, \sqrt{e}]$ 上仅有一个零点．

20．已知函数 $\mathrm{f}(x)=\ln (1+x), g(x)=k x,(\mathrm{k} \hat{\mathrm{I}} R)$ ，
（I）证明：当 $x>0$ 时， $\mathrm{f}(x)<x$ ；
（II）证明：当 $k<1$ 时，存在 $x_{0}>0$ ，使得对任意 $x \hat{\mathrm{I}}\left(0, x_{0}\right)$ ，恒有 $\mathrm{f}(x)>g(x)$ ；
（III）确定 k 的所以可能取值，使得存在 $t>0$ ，对任意的 $x \hat{\mathrm{I}}(0, \mathrm{t})$ ，恒有 $|\mathrm{f}(x)-g(x)|<x^{2}$ ．

20．（本小题满分 12 分，（1）小问 7 分，（2）小问 5 分）
设函数 $f(x)=\frac{3 x^{2}+a x}{e^{x}}(a \in R)$
（1）若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极值，确定 $a$ 的值，并求此时曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）若 $f(x)$ 在 $[3,+\infty)$ 上为减函数，求 $a$ 的取值范围。

11．当 $x \in[-2,1]$ 时，不等式 $a x^{3}-x^{2}+4 x+3 \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是

12．当 $x \in[-2,1]$ 时，不等式 $a x^{3}-x^{2}+4 x+3 \geq 0$ 恒成立，则实数 a 的取值范围是

18．（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=\left(4 x^{2}+4 a x+a^{2}\right) \sqrt{x}$ ，其中 $a<0$ ．
（1）当 $a=-4$ 时，求 $f(x)$ 的单调递增区间；
（2）若 $f(x)$ 在区间 $[1,4]$ 上的最小值为 8 ，求 $a$ 的值．

20．（本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II）小问 3 分，（III）小问 5 分）

已知函数 $f(x)=a e^{2 x}-b e^{-2 x}-c x(a, b, c \in R)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$ 为偶函数，且曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线的斜率为 $4-c$．
（I）确定 $a, b$ 的值；
（II）若 $c=3$，判断 $f(x)$ 的单调性；
（III）若 $f(x)$ 有极值，求 $c$ 的取值范围．

20．（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)=e^{x}-a x$（ $a$ 为常数）的图象与 $y$ 轴交于点 $A$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $A$ 处的切线斜率为 -1．

（I）求 $a$ 的值及函数 $f(x)$ 的极值；
（II）证明：当 $x>0$ 时，$x^{2}<e^{x}$；
（III）证明：对任意给定的正数 $c$，总存在 $x_{0}$，使得当 $x \in\left(x_{0},+\infty\right)$，恒有 $x^{2}<c e^{x}$．

21．已知函数 $f(x)=e^{x}-a x^{2}-b x-1$，其中 $a, b \in R, e=2.71828 \cdots$ 为自然对数的底数。
（I）设 $g(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导函数，求函数 $g(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最小值；
（II）若 $f(1)=0$，函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内有零点，证明：$e-2<a<1$．

9．已知 $f(x)=\ln (1+x)-\ln (1-x), x \in(-1,1)$．现有下列命题：
①$f(-x)=-f(x)$；②$f\left(\frac{2 x}{x^{2}+1}\right)=2 f(x)$；③$|f(x)| \geq 2|x|$。其中的所有正确命题的序号是

9．若 $0<x_{1}<x_{2}<1$，则

10．设函数 $f(x)=\sqrt{e^{x}+x-a} \quad\left(a \in R, e\right.$ 为自然对数的底数）．若曲线 $y=\sin x$ 上存在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$使得 $f\left(f\left(y_{0}\right)\right)=y_{0}$，则 $a$ 的取值范围是

10、设函数 $f(x)=\sqrt{e^{x}+x-a} \quad(a \in R, e$ 为自然对数的底数）。若存在 $b \in[0,1]$ 使 $f(f(b))=b$成立，则 $a$ 的取值范围是

10．已知 $a$ 为常数，函数 $f(x)=x(\ln x-a x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}\left(x_{1}<x_{2}\right)$，则

10．（5分）已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ ，下列结论中错误的是（ ）

11．（5分）已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ ，下列结论中错误的是（）

（12）设函数 $f(x)$ 满足 $x^{2} f^{\prime}(x)+2 x f(x)=\frac{e^{x}}{x}, f(2)=\frac{e^{2}}{8}$，则 $x>0$，时，$f(x)$

16．（5分）若函数 $f(x)=\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+a x+b\right)$ 的图象关于直线 $x=-2$ 对称，则 $f(x)$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 16 ．

（19）（本小题满分 14 分）
已知首项为 $\frac{3}{2}$ 的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in N^{*}\right)$ ，且 $-2 S_{2}, S_{3}, 4 S_{4}$ 成等差数列．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）证明 $S_{n}+\frac{1}{S_{n}} \leq \frac{13}{6}\left(n \in N^{*}\right)$ ．

21．（本小题满分 13 分）
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1-\mathrm{x}}{1+x^{2}} e^{x}$．
（I）求 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调区间；
（II）证明：当 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)\left(\mathrm{x}_{1} \neq \mathrm{x}_{2}\right)$ 时， $\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}<0$．

22．（本小题满分 14 分）
设 $n$ 为正整数，$r$ 为正有理数．
（I）求函数 $f(x)=(1+x)^{r+1}-(r+1) x-1(x>-1)$ 的最小值；
（II）证明：$\frac{n^{r+1}-(n-1)^{r+2}}{r+1}<n^{r}<\frac{(n+1)^{r+1}-n^{r+1}}{r+1}$；
（III）设 $x \in R$，记 $[x]$ 为不小于 $x$ 的最小整数，例如 $[2]=2,[\pi]=4,\left[-\frac{3}{2}\right]=1$．
令 $S=\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{82}+\sqrt[3]{83}+\cdots \cdots+\sqrt[3]{125}$，求 $[S]$ 的值。
（参考数据： $80^{\frac{4}{3}}=344.7,81^{\frac{4}{3}}=350.5,124^{\frac{4}{3}}=618.3,126^{\frac{4}{3}}=631.7$．）

9．（5分）若函数 $f(x)=x^{2}+a x+\frac{1}{x}$ 在 $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 是增函数，则 $a$ 的取值范围是

10．（5分）已知函数 $y=x^{3}-3 x+c$ 的图象与 $x$ 轴恰有两个公共点，则 $c=$（）

10．（5分）已知函数 $f(x)=\frac{1}{\ln (x+1)-x}$ ，则 $y=f(x)$ 的图象大致为（）

12．（5分）设点 P 在曲线 $\mathrm{y}=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{\mathrm{x}}$ 上，点 Q 在曲线 $\mathrm{y}=\ln (2 \mathrm{x})$ 上，则 $|\mathrm{PQ}|$ 最小值为（ ）

22．（本题满分 14 分）已知 $a>0, b \in R$ ，函数 $f(x)=4 a x^{3}-2 b x-a+b$ ．
（I）证明：当 $0 \leq x \leq 1$ 时，
（i）函数 $f(x)$ 的最大值为 $|2 a-b|+a$ ；
（ii）$f(x)+|2 a-b|+a \geq 0$ ；
（II）若 $-1 \leq f(x) \leq 1$ 对 $x \in[0,1]$ 恒成立，求 $a+b$ 的取值范围．

9．设定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 是最小正周期为 2 p 的偶函数，$f(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数，当 $x \in[0, \pi]$ 时， $0<f(x)<1$ ；当 $x \in(0, \pi)$ 且 $x \neq \frac{\pi}{2}$ 时，$\left(x-\frac{\pi}{2}\right) f^{\prime}(x)>0$ ．则函数 $y=f(x)-\sin x$ 在 $[-2 \pi, 2 \pi]$ 上的零点个数为（ ）

8．（5分）（2011•湖南）设直线 $\mathrm{x}=\mathrm{t}$
与函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=\ln \mathrm{x}$ 的图象分别交于点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ ，则当 $|\mathrm{MN}|$ 达到最小时 t 的值为（ ）

12．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 $S(t)(S(0)=0)$ ，则导函数 $y=S^{\prime}(t)$ 的图像大致为