16．已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-a x-a^{3}$ ．
（1）当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）若 $f(x)$ 有极小值，且极小值小于 0 ，求 $a$ 的取值范围．
导数在研究函数中的作用 · 历年高考数学真题与解析
本页汇总 高考数学真题检索 的「导数在研究函数中的作用」高考数学真题共 154 道，覆盖 2008–2024 年，最常出题型为 解答题；含完整答案与解析。
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20．已知 $f(x)=x+k \ln (1+x)$ 在 $(t, f(t))(t>0)$ 处切线为 $l$ ．
（1）若切线 $l$ 的斜率 $k=-1$ ，求 $f(x)$ 单调区间；
（2）证明：切线 $l$ 不经过 $(0,0)$ ；
（3）已知 $k=1, A(t, f(t)), C(0, f(t)), O(0,0)$ ，其中 $t>0$ ，切线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $B$ 时。当 $2 S_{\triangle A C O}=15 S_{\triangle A B O}$ ，符合条件的 $A$ 的个数为？
（参考数据： $1.09<\ln 3<1.10,1.60<\ln 5<1.61,1.94<\ln 7<1.95$ ）
21．已知函数 $f(x)=(1-a x) \ln (1+x)-x$ ．
①当 $a=-2$ 时，求 $f(x)$ 的极值；
②当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
10．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\frac{1}{4}\left(a_{n}-6\right)^{3}+6(n=1,2,3, \cdots)$ ，则（ ）
11．若函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}}(a \neq 0)$ 既有极大值也有极小值，则（ ）。
16．设 $a \in(0,1)$ ，若函数 $f(x)=a^{x}+(1+a)^{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．
19．已知函数 $f(x)=a\left(\mathrm{e}^{x}+a\right)-x$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）证明：当 $a>0$ 时，$f(x)>2 \ln a+\frac{3}{2}$ ．
20．已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+a\right) \ln (1+x)$ ．
（1）当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(x))$ 处的切线方程．
（2）若函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增，求 $a$ 的取值范围．
20．已知函数 $f(x)=a x-\frac{\sin x}{\cos ^{2} x}, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（1）当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)+\sin x<0$ ，求 $a$ 的取值范围．
21．已知 $f(x)=a x-\frac{\sin x}{\cos ^{3} x}, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
（1）若 $\boldsymbol{a}=8$ ，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)<\sin 2 x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
21．已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+a\right) \ln (1+x)$ ．
（1）当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）是否存在 $a, b$ ，使得曲线 $y=f\left(\frac{1}{x}\right)$ 关于直线 $\mathrm{x}=\mathrm{b}$ 对称，若存在，求 $a, b$ 的值，若不存在，说明
理由。
（3）若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 存在极值，求 $a$ 的取值范围．
22．（1）证明：当 $0
6．已知函数 $f(x)=a \mathrm{e}^{x}-\ln x$ 在区间 $(1,2)$ 上单调递增，则 $a$ 的最小值为（）。
8．函数 $f(x)=x^{3}+a x+2$ 存在 3 个零点，则 $a$ 的取值范围是（ ）
20．已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x} \ln (1+x)$ ．
（1）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程；
②设 $g(x)=f^{\prime}(x)$ ，讨论函数 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上的单调性；
（3）证明：对任意的 $s, t \in(0,+\infty)$ ，有 $f(s+t)>f(s)+f(t)$ ．
21．已知函数 $f(x)=\frac{e^{x}}{x}-\ln x+x-a$ ．
（1）若 $f(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围；
（2）证明：若 $f(x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2}<1$ ．
22．设函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}}{2 x}+\ln x(x>0)$ ．
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）已知 $a, b \in \mathbf{R}$ ，曲线 $y=f(x)$ 上不同的三点 $\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right),\left(x_{3}, f\left(x_{3}\right)\right)$ 处的切线都经过点 $(a, b)$ ．证明：
（i）若 $a>\mathrm{e}$ ，则 $0
10．设 $a \neq 0$ ，若 $a$ 为函数 $f(x)=a(x-a)^{2}(x-b)$ 的极大值点，则（ ）
12．设 $a \neq 0$ ，若 $x=a$ 为函数 $f(x)=a(x-a)^{2}(x-b)$ 的极大值点，则
19．已知函数 $f(x)=\frac{3-2 x}{x^{2}+a}$ ．
（1）若 $a=0$ ，求 $y=f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处切线方程；
（2）若函数 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极值，求 $f(x)$ 的单调区间，以及最大值和最小值．
20．已知 $a>0$ ，函数 $f(x)=a x-x e^{x}$ ．
（I）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程：
（II）证明 $f(x)$ 存在唯一的极值点
（III）若存在 $a$ ，使得 $f(x) \leq a+b$ 对任意 $x \in \mathbf{R}$ 成立，求实数 $b$ 的取值范围．
21.
一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 0 代，经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2 代⋯⋯，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 $X$ 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数，$P(X=i)=p_{i}(i=0,1,2,3)$ ．
（1）已知 $p_{0}=0.4, p_{1}=0.3, p_{2}=0.2, p_{3}=0.1$ ，求 $E(X)$ ；
②设 $p$ 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，$p$ 是关于 $x$ 的方程：$p_{0}+p_{1} x+p_{2} x^{2}+p_{3} x^{3}=x$的一个最小正实根，求证：当 $E(X) \leq 1$ 时，$p=1$ ，当 $E(X)>1$ 时，$p<1$ ；
（3）根据你的理解说明②问结论的实际含义。
21．已知函数 $f(x)=x^{3}-x^{2}+a x+1$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）求曲线 $y=f(x)$ 过坐标原点的切线与曲线 $y=f(x)$ 的公共点的坐标．
22．已知函数 $f(x)=x(1-\ln x)$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
②设 $a, b$ 为两个不相等的正数，且 $b \ln a-a \ln b=a-b$ ，证明： $2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\mathrm{e}$ ．
7．若过点 $(a, b)$ 可以作曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 的两条切线，则（ ）
19．已知函数 $f(x)=12-x^{2}$ ．
（I）求曲线 $y=f(x)$ 的斜率等于 -2 的切线方程；
（II）设曲线 $y=f(x)$ 在点 $(t, f(t))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 $S(t)$ ，求 $S(t)$ 的最小值．
20．已知函数 $f(x)=e^{x}-a(x+2)$ ．
（1）当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围．
20．已知函数 $f(x)=x^{3}-k x+k^{2}$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)$ 有三个零点，求 $k$ 的取值范围．
21．已知函数 $f(x)=\sin ^{2} x \sin 2 x$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 在区间 $(0, \pi)$ 的单调性；
（2）证明：$|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$ ；
③设 $n \in N^{*}$ ，证明： $\sin ^{2} x \sin ^{2} 2 x \sin ^{2} 4 x \ldots \sin ^{2} 2^{n} x \leq \frac{3^{n}}{4^{n}}$ ．
21．已知函数 $f(x)=2 \ln x+1$ ．
（1）若 $f(x) \leq 2 x+c$ ，求 $c$ 的取值范围；
②设 $a>0$ 时，讨论函数 $g(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 的单调性．
21．设函数 $f(x)=x^{3}+b x+c$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, f\left(\frac{1}{2}\right)\right)$ 处的切线与 $y$ 轴垂直．
（1）求 $b$ ．
（2）若 $f(x)$ 有一个绝对值不大于 1 的零点，证明：$f(x)$ 所有零点的绝对值都不大于 1 ．
19．（本小题满分 16 分）
设函数 $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c), a, b, c \in \mathrm{R} , f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数．
（1）若 $a=b=c, f(4)=8$ ，求 $a$ 的值；
（2）若 $a \neq b, b=c$ ，且 $f(x)$ 和 $f^{\prime}(x)$ 的零点均在集合 $\{-3,1,3\}$ 中，求 $f(x)$ 的极小值；
（3）若 $a=0,0
20．已知函数 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+2$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）当 $0
20．已知函数 $f(x)=\sin x-\ln (1+x), f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导数．证明：
①$f^{\prime}(x)$ 在区间 $\left(-1, \frac{\pi}{2}\right)$ 存在唯一极大值点；
（2）$f(x)$ 有且仅有 2 个零点．
20．已知函数 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+b$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）是否存在 $a, b$ ，使得 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 的最小值为 -1 且最大值为 1 ？若存在，求出 $a, b$的所有值；若不存在，说明理由．
21．已知函数 $f(x)=(x-1) \ln x-x-1$ ．证明：
①$f(x)$ 存在唯一的极值点；
②$f(x)=0$ 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
18．（13 分）设函数 $f(x)=\left[a x^{2}-(4 a+1) x+4 a+3\right] e^{x}$ 。
（I）若曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在点 $(1, \mathrm{f}(1))$ 处的切线与 x 轴平行，求 a ；
（II）若 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\mathrm{x}=2$ 处取得极小值，求 a 的取值范围．
19．（13 分）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left[\mathrm{ax}^{2}-(3 \mathrm{a}+1) \mathrm{x}+3 \mathrm{a}+2\right] \mathrm{e}^{\mathrm{x}}$ ．
（I）若曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在点 $(2, \mathrm{f}(2))$ 处的切线斜率为 0 ，求 a ；
（II）若 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\mathrm{x}=1$ 处取得极小值，求 a 的取值范围．
（20）（本小题满分 14 分）
设函数 $f(x)=\left(x-t_{1}\right)\left(x-t_{2}\right)\left(x-t_{3}\right)$ ，其中 $t_{1}, t_{2}, t_{3} \in \mathbf{R}$ ，且 $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ 是公差为 $d$ 的等差数列．
（I）若 $t_{2}=0, d=1$ ，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程；
（II）若 $d=3$ ，求 $f(x)$ 的极值；
（III）若曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=-\left(x_{1}-t_{2}\right)-6 \sqrt{3}$ 有三个互异的公共点，求 $d$ 的取值范围．
20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为 $\mathrm{p}(0<\mathrm{p}<1)$ ，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$ ，求 $f$ （p）的最大值点 $\mathrm{p}_{0}$ 。
（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 $\mathrm{p}_{0}$ 作为 p 的值．已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用。
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求 $E X$ ；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
（10）若函数 $e^{x} f(x)(e=2.71828 \ldots$ 是自然对数的底数）在 $f(x)$ 的定义域上单调递增，则称函数 $f(x)$ 具有 M 性质，下列函数中具有 M 性质的是
11．（5分）若 $x=-2$ 是函数 $f(x)=\left(x^{2}+a x-1\right) e^{x-1}$ 的极值点，则 $f(x)$ 的极小值为（）
15．（5分）若函数 $e^{x f}(x) ~(e \approx 2.71828 \ldots$ 是自然对数的底数）在 $f(x)$ 的定义域上单调递增，则称函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 具有 M 性质。下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为 $\_\_\_\_$ ．
①$f(x)=2^{-x}(2) f(x)=3^{-x}(3) f(x)=x^{3}(4) f(x)=x^{2}+2$ ．
19．（14分）设 $a, b \in R,|a| \leqslant 1$ ．已知函数 $f(x)=x^{3}-6 x^{2}-3 a(a-4) x+b, g (x)=e^{x f}(x)$.
（I）求 $f(x)$ 的单调区间；
（II）已知函数 $y=g(x)$ 和 $y=e^{x}$ 的图象在公共点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处有相同的切线，
（i）求证：$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处的导数等于 0 ；
（ii）若关于 x 的不等式 $\mathrm{g}(\mathrm{x}) \leqslant \mathrm{e}^{\mathrm{x}}$ 在区间 $\left[\mathrm{x}_{0}-1, \mathrm{x}_{0}+1\right]$ 上恒成立，求 b 的取值范围。
19．（13 分）已知函数 $f(x)=e^{x} \cos x-x$ ．
（1）求曲线 $y=f(x)$ 在点（ $0, f(0)$ ）处的切线方程；
（2）求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值和最小值．
20．（13 分）已知函数 $f(x)=e^{x} \cos x-x$ ．
（1）求曲线 $y=f(x)$ 在点（ $0, f(0)$ ）处的切线方程；
（2）求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值和最小值．
（20）（本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2} a x^{2}, a \in R$ ，
（1）当 $a=2$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(3, f(3))$ 处的切线方程；
②设函数 $g(x)=f(x)+(x-a) \cos x-\sin x$ ，讨论 $g(x)$ 的单调性并判断有无极值 ，有极值时求出极值．
21．（12分）已知函数 $f(x)=a e^{2 x}+(a-2) e^{x}-x$ 。
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围．
21．（12分）已知函数 $f(x)=e^{x}\left(e^{x}-a\right)-a^{2} x$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围．
21．（12分）设函数 $f(x)=\left(1-x^{2}\right) e^{x}$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \leq a x+1$ ，求 $a$ 的取值范围．
21．（15 分）如图，已知抛物线 $\mathrm{x}^{2}=\mathrm{y}$ ，点 $\mathrm{A}\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right), \mathrm{B}\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)$ ，抛物线上的点 $\mathrm{P}(\mathrm{x}, \mathrm{y})\left(-\frac{1}{2}<\mathrm{x}<\frac{3}{2}\right)$ ，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q ．
（I）求直线 AP 斜率的取值范围；
（II）求 $|P A| \cdot|P Q|$ 的最大值。
22．（15 分）已知数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足：$x_{1}=1, x_{n}=x_{n+1}+\ln \left(1+x_{n+1}\right)\left(n \in N^{*}\right)$ ，证明：当 $n \in \mathrm{N}^{*}$ 时，
（ I ） $0
（III）$\frac{1}{2^{n-1}} \leqslant x_{n} \leqslant \frac{1}{2^{n-2}}$ ．
12．（5分）若函数 $f(x)=x-\frac{1}{3} \sin 2 x+a \sin x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 单调递增，则 $a$ 的取值范围是（ ）
18．（13 分）设函数 $f(x)=x e^{a-x}+b x$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2, f(2))$ 处的切线方程为 $y=(e-1) x+4$ ，
（I）求 a ， b 的值；
（II）求 $f(x)$ 的单调区间。
20．（13 分）设函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ ．
（1）求曲线 $y=f(x)$ 在点（ $0, f(0)$ ）处的切线方程；
②设 $a=b=4$ ，若函数 $f(x)$ 有三个不同零点，求 $c$ 的取值范围；
（3）求证：$a^{2}-3 b>0$ 是 $f(x)$ 有三个不同零点的必要而不充分条件．
20．（14分）（2016•天津）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-1)^{3}-\mathrm{ax}-\mathrm{b}, ~ \mathrm{x} \in \mathrm{R}$，其中 $\mathrm{a}, ~ \mathrm{~b} \in \mathrm{R}$。
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若 $f(x)$ 存在极值点 $x_{0}$，且 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{0}\right)$，其中 $x_{1} \neq x_{0}$，求证：$x_{1}+2 x_{0}=3$；
③设 $\mathrm{a}>0$，函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})=|\mathrm{f}(\mathrm{x})|$，求证： $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值不小于 $\frac{1}{4}$．
## 2016年天津市高考数学试卷（理科）
20．（13 分）（2016 • 山东）已知 $f(x)=a(x-\ln x)+\frac{2 x-1}{x^{2}}, a \in R$ ．
（I）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）当 $\mathrm{a}=1$ 时，证明 $\mathrm{f}(\mathrm{x})>\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})+\frac{3}{2}$ 对于任意的 $\mathrm{x} \in[1,2]$ 成立．
20．（12分）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}+1) \ln \mathrm{x}-\mathrm{a}(\mathrm{x}-1)$ ．
（1）当 $a=4$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在（1，$f(1))$ 处的切线方程；
（II）若当 $x \in(1,+\infty)$ 时，$f(x)>0$ ，求 $a$ 的取值范围．
20．（14分）（2016•天津）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-\mathrm{ax}-\mathrm{b}, \mathrm{x} \in \mathrm{R}$ ，其中 $\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{R}$ 。
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若 $f(x)$ 存在极值点 $x_{0}$ ，且 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{0}\right)$ ，其中 $x_{1} \neq x_{0}$ ，求证：$x_{1}+2 x_{0}=0$ ；
③设 $a>0$ ，函数 $g(x)=|f(x)|$ ，求证：$g(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上的最大值不小于 $\frac{1}{4}$
## 2016年天津市高考数学试卷（文科）
6．已知 $a$ 函数 $f(x)=x^{3}-12 x$ 的极小值点，则 $a=$
13．如图，点 $A$ 的坐标为 $(1,0)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(2,4)$ ，函数 $f(x)=x^{2}$ ，若在矩形 $A B C D$ 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 $\_\_\_\_$。
20．已知函数 $f(x)=n x-x^{n}, x \in R$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，且 $n \geq 2$ ．
（I）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）设曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为 $P$ ，曲线在点 $P$ 处的切线方程为 $y=g(x)$ ，
求证：对于任意的正实数 $x$ ，都有 $f(x) \leq g(x)$ ；
（III）若关于 $x$ 的方程 $f(x)=a$（ $a$ 为实数）有两个正实数根 $x_{1}, x_{2}$ ，求证：$\left|x_{2}-x_{1}\right|<\frac{a}{1-n}+2$ ．
## 2015年高考天津市理科数学真题答案
19．（16分）（2015•江苏）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}+\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{b} ~(\mathrm{a}, ~ \mathrm{~b} \in \mathrm{R}) ~$.
（1）试讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $\mathrm{b}=\mathrm{c}-\mathrm{a}$（实数 c 是与 a 无关的常数），当函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 有三个不同的零点时， a 的取值范围恰好是 $(-\infty,-3) \cup\left(1, \frac{3}{2}\right) \cup\left(\frac{3}{2},+\infty\right)$ ，求 c 的值。
19．（13 分）设函数 $f(x)=\frac{x^{2}}{2}-k \ln x, k>0$ ．
（1）求 $f(x)$ 的单调区间和极值；
（2）证明：若 $f(x)$ 存在零点，则 $f(x)$ 在区间 $(1, \sqrt{e}]$ 上仅有一个零点．
19、（本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II）小问 8 分）
已知函数 $f(x)=a x^{3}+x^{2} \quad(a \in R)$ 在 $\mathrm{x}=-\frac{4}{3}$ 处取得极值．
（I）确定 $a$ 的值；
（II）若 $g(x)=f(x) e^{x}$ ，讨论的单调性．
20．（本小题满分 12 分，（1）小问 7 分，（2）小问 5 分）
设函数 $f(x)=\frac{3 x^{2}+a x}{e^{x}}(a \in R)$
（1）若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极值，确定 $a$ 的值，并求此时曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）若 $f(x)$ 在 $[3,+\infty)$ 上为减函数，求 $a$ 的取值范围。
21．（本小题满分 13 分）函数 $f(x)=a e^{2} \cos x\left(x \in[0,+\infty)\right.$ ，记 $x_{n}$ 为 $f(x)$ 的从小到大的第 $n\left(n \in N^{*}\right)$ 个极值点。
（I）证明：数列 $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 是等比数列；
（II）若对一切 $n \in N^{*}, x_{n} \leq\left|f\left(x_{n}\right)\right|$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围。
21．已知函数 $f(x)=-2(x+a) \ln x+x^{2}-2 a x-2 a^{2}+a$ ，其中 $a>0$ ．
①设 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数，评论 $g(x)$ 的单调性；
（2）证明：存在 $a \in(0,1)$ ，使得 $f(x) \geq 0$ 在区间 $(1,+\infty)$ 内恒成立，且 $f(x)=0$ 在 $(1,+\infty)$ 内有唯一解．
21．设 $f_{n}(x)=x+x^{2}+\cdots+x^{n}-1, n \in N, n \geq 2$．
（I）求 $f_{n}^{\prime}(2)$；
（II）证明：$f_{n}(x)$ 在 $\left(0, \frac{2}{3}\right)$ 内有且仅有一个零点（记为 $a_{n}$ ），且 $0
（21）（本小题满分 13 分）
设函数 $f(x)=x^{2}-a x+b$ ．
（I）讨论函数 $f(\sin x)$ 在 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
（II）记 $f_{0}(x)=x^{2}-a_{0} x+b_{0}$ ，求函数 $\left|f(\sin x)-f_{0}(\sin x)\right|$ 在 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值 D；
（III）在（II）中，取 $a_{0}=b_{0}=0$ ，求 $z=b-\frac{a^{2}}{4}$ 满足 $\mathrm{D} \leq 1$ 时的最大值．
22．（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)=\ln x-\frac{(x-1)^{2}}{2}$ ．
（I）求函数 $f(x)$ 的单调递增区间；
（II）证明：当 $x>1$ 时，$f(x)
21．已知函数 $f(x)=\frac{a x}{(x+r)^{2}}(a>0, r>0)$
（I）求 $f(x)$ 的定义域，并讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）若 $\frac{a}{r}=400$ ，求 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内的极值．
11．（5分）若函数 $f(x)=k x-\ln$ x 在区间 $(1,+\infty)$ 单调递增，则 k 的取值范围是（）
18．（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=\left(4 x^{2}+4 a x+a^{2}\right) \sqrt{x}$ ，其中 $a<0$ ．
（1）当 $a=-4$ 时，求 $f(x)$ 的单调递增区间；
（2）若 $f(x)$ 在区间 $[1,4]$ 上的最小值为 8 ，求 $a$ 的值．
18．（本小题满分 12 分）
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{b}\right) \sqrt{1-2 \mathrm{x}}(\mathrm{b} \in \mathrm{R})$ ．
（1）当 $b=4$ 时，求 $f(x)$ 的极值；
（2）若 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{1}{3}\right)$ 上单调递增，求 $b$ 的取值范围．
19．（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分）
已知函数 $f(x)=\frac{x}{4}+\frac{a}{x}-\ln x-\frac{3}{2}$ ，其中 $a \in R$ ，且曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线垂直于 $y=\frac{1}{2} x$ ．
（I）求 $a$ 的值；
（II）求函数 $f(x)$ 的单调区间与极值．
（20）（本小题满分 13 分）
设函数 $f(x)=a \ln x+\frac{x-1}{x+1}$ ，其中 $a$ 为常数．
（I）若 $a=0$ ，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f①)$ 处的切线方程；
（II）讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
20．（本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II）小问 3 分，（III）小问 5 分）
已知函数 $f(x)=a e^{2 x}-b e^{-2 x}-c x(a, b, c \in R)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$ 为偶函数，且曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线的斜率为 $4-c$．
（I）确定 $a, b$ 的值；
（II）若 $c=3$，判断 $f(x)$ 的单调性；
（III）若 $f(x)$ 有极值，求 $c$ 的取值范围．
21．（本小题满分 13 分）
设函数 $f(x)=\ln x+\frac{m}{x}, m \in R$．
①当 $m=e$（ $e$ 为自然对数的底数）时，求 $f(x)$ 的极小值；
（2）讨论函数 $g(x)=f^{\prime}(x)-\frac{x}{3}$ 零点的个数；
（3）若对任意 $b>a>0, \frac{f(b)-f(a)}{b-a}<1$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．
21．（本小题满分 14 分）设函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\left(x^{2}+2 x+k\right)^{2}+2\left(x^{2}+2 x+k\right)-3}}$ ，其中 $k<-2$ ，
（1）求函数 $f(x)$ 的定义域D（用区间表示）；
（2）讨论函数 $f(x)$ 在 D 上的单调性；
（3）若 $k<-6$ ，求 D 上满足条件 $f(x)>f(1)$ 的 $x$ 的集合（用区间表示）。
## 2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
## 数学（理科）答案
21．（12分）函数 $f(x)=a x^{3}+3 x^{2}+3 x(a \neq 0)$ ．
（I）讨论 $f$（ $x$ ）的单调性；
（II）若 $f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 是增函数，求 $a$ 的取值范围．
22．（12分）函数 $f(x)=\ln (x+1)-\frac{a x}{x+a}(a>1)$ ．
（I）讨论 $f$（ $x$ ）的单调性；
（II）设 $a_{1}=1, a_{n+1}=\ln \left(a_{n}+1\right)$ ，证明：$\frac{2}{n+2}
22．已知常数 $a>0$ ，函数 $f(x)=\ln (1+a x)-\frac{2 x}{x+2}$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上的单调性；
（2）若 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)>0$ ，求 $a$ 的取值范围．．
22．（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)=e^{x}-a x$（ $a$ 为常数）的图像与 $y$ 轴交于点 $A$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $A$ 处的切线斜率为 $-1$.
（1）求 $a$ 的值及函数 $f(x)$ 的极值；
（2）证明：当 $x>0$ 时，$x^{2}
（10）若函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 有极值点 $x_{1}, x_{2}$，且 $f\left(x_{1}\right)=x_{1}$，则关于 $x$ 的方程 $3(f(x))^{2}+2 a f(x)+b=0$ 的不同实根个数是
（10）．已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$，若 $f\left(x_{1}\right)=x_{1}
10．已知 $a$ 为常数，函数 $f(x)=x(\ln x-a x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}\left(x_{1}
10．已知函数 $f(x)=x(\ln x-a x)$ 有两个极值点，则实数 $a$ 的取值范围是
11、抛物线 $C_{1}: y=\frac{1}{2 p} x^{2}(p>0)$ 的焦点与双曲线 $C_{2}: \frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$ 的右焦点的连线交 $C_{1}$ 于第一象限的点 $M$ ．若 $C_{1}$ 在点 $M$ 处的切线平行于 $C_{2}$ 的一条渐近线，则 $p=$
16．（5分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{10}=0, S_{15}=25$ ，则 $n S_{n}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ －49 ．
（17）（本小题满分 13 分，（I）小问 6 分，（II）小问 7 分）
设 $f(x)=a(x-5)^{2}+6 \ln x$ ，其中 $a \in R$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f①)$ 处的切线与 $y$ 轴相较于点（ 0,6 ）．（I）确定 $a$ 的值；（II）求函数 $f(x)$ 的单调区间与极值．
17．（本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=x-a \ln x(a \in R)$
（1）当 $a=2$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $A(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）求函数 $f(x)$ 的极值
18．（13 分）设 I 为曲线 C： $\mathrm{y}=\frac{\ln \mathrm{x}}{\mathrm{x}}$ 在点 $(1,0)$ 处的切线．
（I）求 $I$ 的方程；
（II）证明：除切点 $(1,0)$ 之外，曲线 C 在直线 $l$ 的下方．
（20）（本小题满分 13 分）
设函数 $f_{x}(x)=-1+x+\frac{x^{2}}{2^{2}}+\frac{x^{3}}{3^{2}}+\ldots+\frac{x^{n}}{n^{2}}\left(x \in R, n \in N^{*}\right)$，证明：
（I）对每个 $n \in N^{*}$，存在唯一的 $x_{n} \in\left[\frac{2}{3}, 1\right]$，满足 $f_{x}\left(x_{n}\right)=0$；
（II）对任意 $p \in N^{*}$，由（I）中 $x_{n}$ 构成的数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $0
20．（12分）已知函数 $f(x)=e^{x}(a x+b)-x^{2}-4 x$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点（ $0, f($ 0））处切线方程为 $y=4 x+4$ ．
（I）求 a ， b 的值；
（II）讨论 $f(x)$ 的单调性，并求 $f(x)$ 的极大值。
21．（12分）已知函数 $f(x)=x^{2} e^{-x}$
（I）求 $f(x)$ 的极小值和极大值；
（II）当曲线 $y=f(x)$ 的切线 $I$ 的斜率为负数时，求 $I$ 在 $x$ 轴上截距的取值范围．
21．（本小题满分 13 分）
设 $a>0, b>0$，已知函数 $f(x)=\frac{a x+b}{x+1}$．
（I）当 $a \neq b$ 时，讨论函数 $f(x)$ 的单调性；
（II）当 $x>0$ 时，称 $f(x)$ 为 $a, b$ 关于 $x$ 的加权平均数．
（i）判断 $f①, f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right), f\left(\frac{b}{a}\right)$ 是否成等比数列，并证明 $f\left(\frac{b}{a}\right) \leq f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)$；
（ii）$a, b$ 的几何平均数记为 $G$．称 $\frac{2 a b}{a+b}$ 为 $a, b$ 的调和平均数，记为 $H$．
若 $H \leq f(x) \leq G$，求 $x$ 的取值范围．
22．（本小题满分 13 分）
已知 $a>0$, 函数 $f(x)=\left|\frac{x-a}{x+2 a}\right|$。
（I）；记 $f(x)$ 在 区间 $[0,4]$ 上的最大值为 $\mathrm{g}(a)$，求 $\mathrm{g}(a)$ 的表达式；
（II）是否存在 $a$，使函数 $y=f(x)$ 在区间 $(0,4)$ 内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由。
7．（5 分）直线 $l$ 过抛物线 C：$x^{2}=4 y$ 的焦点且与 $y$ 轴垂直，则 I 与 $C$ 所围成的图形的面积等于
21．（本小题满分 14 分）已知函数 $f(x)=\left(a x^{2}+b x+c\right) e^{x}$ 在 $[0,1]$ 上单调递减，且满足
$f(0)=1, f(1)=0$（I）求 $a$ 的取值范围；（II）设 $g(x)=f(x)-f^{\prime}(x)$ ，求在 $[0,1]$ 上的最大值和最小值
18．（13 分）已知函数 $f(x)=a x^{2}+1(a>0), g(x)=x^{3}+b x$ 。
（1）若曲线 $y=f(x)$ 与曲线 $y=g(x)$ 在它们的交点（1，c）处有公共切线，求 $a, b$ 的值；
（2）当 $a=3, b=-9$ 时，函数 $f(x)+g(x)$ 在区间 $[k, 2]$ 上的最大值为 28 ，求 $k$ 的取值范围．
18．（13 分）已知函数 $f(x)=a x^{2}+1(a>0), g(x)=x^{3}+b x$
（1）若曲线 $y=f(x)$ 与曲线 $y=g(x)$ 在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求 $a , b$ 的值；
（2）当 $a^{2}=4 b$ 时，求函数 $f(x)+g(x)$ 的单调区间，并求其在区间 $(-\infty$ ， －1）上的最大值．
18．（本小题满分 16 分）
若函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 取得极大值或者极小值则 $x=x 0$ 是 $y=f(x)$ 的极值点
已知 $a, b$ 是实数， 1 和 -1 是函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x$ 的两个极值点．
（1）求 $a$ 和 $b$ 的值；
②设函数 $g(x)$ 的导函数 $g^{\prime}(x)=f(x)+2$ ，求 $g(x)$ 的极值点；
③设 $h(x)=f(f(x))-c$ ，其中 $c \in[-2,2]$ ，求函数 $y=h(x)$ 的零点个数．
21．（本小题满分 14 分）若函数 $h(x)$ 满足
（1）$h(0)=1, h(1)=0$ ；
（2）对任意 $a \in[0,1]$ ，有 $\mathrm{h}(\mathrm{h}(\mathrm{a}))=\mathrm{a}$ ；
（3）在 $(0,1)$ 上单调递减。
则称 $\mathrm{h}(\mathrm{x})$ 为补函数。已知函数 $h(x)=\left(\frac{1-x^{p}}{1+\lambda x^{p}}\right)^{\frac{1}{p}}(\lambda>-1, p>0)$ 。
（1）判断函数 $h(x)$ 是否为补函数，并证明你的结论；
（2）若存在 $m \in[0,1]$ ，使得 $h(m)=m$ ，若 $m$ 是函数 $h(x)$ 的中介元，记 $p=\frac{1}{n}(n \in N)$ 时 $h(x)$的中介元为 $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ ，且 $S_{\mathrm{n}}=\sum_{\mathrm{n}-1}^{\mathrm{n}} \mathrm{x}_{1}$ ，若对任意的 $n \in N_{+}$，都有 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}<\frac{1}{2}$ ，求 $\lambda$ 的取值范围；
（3）当 $\lambda=0, x \in(0,1)$ 时，函数 $\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x})$ 的图像总在直线 $\mathrm{y}=1-\mathrm{x}$ 的上方，求 P 的取值范围。
20．（12分）设函数 $f(x)=a x+\cos x, x \in[0, \pi]$ ．
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）设 $f(x) \leq 1+\sin x$ ，求 $a$ 的取值范围．
（21）（本小题满分 13 分）
设函数 $f(x)=\frac{x}{2}+\sin x$ 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 $\left\{x_{n}\right\}$ ．
（I）求数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的通项公式．
（II）设 $\left\{x_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $\sin S_{n}$ ．
21．（12分）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{3} \mathrm{x}^{3}+\mathrm{x}^{2}+\mathrm{ax}$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
②设 $f(x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，若过两点 $\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)$的直线 $l$ 与 x 轴的交点在曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 上，求 a 的值．
21．（12分）已知抛物线C：$y=(x+1) 2$ 与圆 $M:(x-1)^{2}+\left(y \frac{1}{2}\right)^{2}=r^{2}(r>0)$有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线1．
（I）求 $r$ ；
（II）设 $m$ ，$n$ 是异于I且与 $C$ 及 $M$ 都相切的两条直线，$m$ ，$n$ 的交点为 $D$ ，求 $D$ 到 $\mid$的距离．
21．（本小题满分 14 分）
设 $a<1$ ，集合 $A=\{x \in R \mid x>0\}, B=\left\{x \in R \mid 2 x^{2}-3(1+a) x+6 a>0\right\}, D=A \cap B$ ．
（1）求集合 $D$（用区间表示）；
（2）求函数 $f(x)=2 x^{3}-3(1+a) x^{2}+6 a x$ 在 $D$ 内的极值点．
22．（本小题满分 14 分）
设函数 $f(x)=a x^{n}(1-x)+b(x>0), \mathrm{n}$ 为正整数， $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 为常数，曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $(1, \mathrm{f}(1))$ 处的切线方程为 $x+y=1$ ．
（1）求 $a, b$ 的值；
（2）求函数 $f(x)$ 的最大值
（3）证明：$f(x)<\frac{1}{n e}$ ．
（8）设函数 $f(x)$ 在 $R$ 上可导，其导函数 $f^{\prime}(x)$ ，且函数 $f(x)$ 在 $x=-2$ 处取得极小值，则函数 $y=x f^{\prime}(x)$ 的图象可能是
（A）
（C）
（B）
（D）
10．（5 分）（2011 •浙江）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}(\mathrm{a}, ~ \mathrm{~b}, ~ \mathrm{c} \in \mathrm{R})$ ，若 $\mathrm{x}=-1$ 为函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x}$ ）$e^{x}$ 的一个极值点，则下列图象不可能为 $y=f(x)$ 的图象是（）
A. 
B. 
C. 
D. 
12．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P$ 是函数 $f(x)=e^{x}(x>0)$ 的图象上的动点，该图象在 $P$ 处的切线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，过点 $P$ 作 $l$ 的垂线交 $y$ 轴于点 $N$ ，设线段 $M N$的中点的纵坐标为 $t$ ，则 $t$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ A ．
19．（本小题满分 14 分）
设 $a>0$ ，讨论函数 $f(x)=\ln x+a(1-a) x^{2}-2(1-a) x$ 的单调性．
19．（本小题满分14分）已知函数 $f(x)=4 x^{3}+3 t x^{2}-6 t x+t-1, x \in R$ ，其中 $t \in R$ ．
（I）当 $t=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程；
（II）当 $t \neq 0$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间；
（III）证明：对任意的 $t \in(0,+\infty), f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内均存在零点．
22．（本小题共 14 分）
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{2}{3} \mathrm{x}+\frac{1}{2}, \mathrm{~h}(\mathrm{x})=\sqrt{x}$ ．
（I）设函数 $F(x)=f(x)-h(x)$ ，求 $F(x)$ 的单调区间与极值；
（II）设 $\mathrm{a} \in \mathrm{R}$ ，解关于 x 的方程 $\log _{4}\left[\frac{3}{2} f(x-1)-\frac{3}{4}\right]=\log _{2} \mathrm{~h}(\mathrm{a}-\mathrm{x})-\log _{2} \mathrm{~h}(4-\mathrm{x})$ ；
（III）试比较 $f(100) h(100)-\sum_{k=1}^{100} h(k)$ 与 $\frac{1}{6}$ 的大小．
19．（本小题满分 16 分）
已知 $a, b$ 是实数，函数 $f(x)=x^{3}+a x, g(x)=x^{2}+b x, f^{\prime}(x)$ 和 $g^{\prime}(x)$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的导函数．若 $f^{\prime}(x) g^{\prime}(x) \geq 0$ 在区间 $I$ 上恒成立，则称 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $I$上单调性一致．
（1）设 $a>0$ ，若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[-1,+\infty)$ 上单调性一致，求实数 $b$ 的取值范围；
②设 $a<0$ 且 $a \neq b$ ，若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在以 $a, b$ 为端点的开区间上单调性一致，求 $|a-b|$ 的最大值．
21．（12分）已知函数 $f(x)=\frac{a \ln x}{x+1}+\frac{b}{x}$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $x+2 y-3=0$ ．
（I）求 $a , b$ 的值；
（II）如果当 $x>0$ ，且 $x \neq 1$ 时，$f(x)>\frac{\ln x}{x-1}+\frac{k}{x}$ ，求 $k$ 的取值范围．
21．（12分）已知函数 $f(x)=\frac{a \ln x}{x+1}+\frac{b}{x}$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $x+2 y-3=0$ ．
（I）求 $\mathrm{a} , \mathrm{~b}$ 的值；
（II）证明：当 $x>0$ ，且 $x \neq 1$ 时，$f(x)>\frac{\ln x}{x-1}$ ．
22．（12分）（I）设函数 $f(x)=\ln (1+x) \frac{2 x}{x+2}$ ，证明：当 $x>0$ 时，$f(x)>0$
（II）从编号1到100的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 20 次，设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 p ，证明：
$ \mathrm{p}<\left(\frac{9}{10}\right)^{19}<\frac{1}{\mathrm{e}^{2}} . $
22、（2011 • 浙江）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-\mathrm{a})^{2} \ln \mathrm{x}, \mathrm{a} \in \mathrm{R}$
（I）若 $x=e$ 为 $y=f(x)$ 的极值点，求实数 $a$ ；
（II）求实数 a 的取值范围，使得对任意的 $\mathrm{x} \in(0,3 \mathrm{a}]$ ，恒有 $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \leq 4 \mathrm{e}^{2}$ 成立．
注： e 为自然对数的底数．
考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用。
专题：计算题。
分析：①利用极值点处的导数值为 0 ，求出导函数，将 $\mathrm{x}=\mathrm{e}$ 代入等于 0 ，求出 a ，再将 a 的值代入检验．
（II）对 a 分类讨论，求出 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的最大值，令最大值小于 $4 \mathrm{e}^{2}$ ，解不等式求出 a 的范围。
22．（本小题满分 13 分）
设函数 $f(x)=x-\frac{1}{x}-a \ln x(a \in R)$ ．
（I）讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
（II）若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，记过点 $A\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right), B\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)$ 的直线斜率为 $k$ ．问：是否存在 $a$ ，使得 $k=2-a$ ？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由。
## 2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
22．（13分）（2011•湖南）已知函数 $f(x)=x^{3}, g(x)=x+\sqrt{x}$ ．
（I）求函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 的零点个数．并说明理由；
（II）设数列 \｛
$\left.a_{n}\right\} \quad\left(n \in N^{*}\right)$ 满足 $a_{1}=a \quad(a>0), f\left(a_{n+1}\right)=g\left(a_{n}\right)$ ，证明：存在常数 $M$ ，使得对于任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n} \leq M$ ．
一选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
20．（本小题满分 13 分）
设 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+m x^{2}+n x$ ．
（1）如果 $g(x)=f^{\prime}(x)-2 x-3$ 在 $x=-2$ 处取得最小值 -5 ，求 $f(x)$ 的解析式；
（2）如果 $m+n<10\left(m, n \in N_{+}\right), f(x)$ 的单调递减区间的长度是正整数，的值．（注：区间 $(a, b)$ 的长度为 $b-a$ ）
## 21．（本小题满分 14 分）
（1）已知两个等比数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ ，满足 $a_{1}=a(a>0), b_{1}-a_{1}=1, b_{2}-a_{2}=2, b_{3}-a_{3}=3$ ，
若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 唯一，求 $a$ 的值；
（2）是否存在两个等比数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ ，使得 $b_{1}-a_{1}, b_{2}-a_{2}, b_{3}-a_{3}, b_{4}-a_{4}$ 成公差不为 0的等差数列？若存在，求 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；若不存在，说明理由．
## 2011年江西高考文科数学真题及答案
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
## 考生注意：
17．（本小题满分 12 分）
设函数 $f(x)=6 x^{3}+3(a+2) x^{2}+2 a x$ ．
（1）若 $f(x)$ 的两个极值点为 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} x_{2}=1$ ，求实数 $a$ 的值；
（2）是否存在实数 $a$ ，使得 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的单调函数？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由。
17．（本小题满分 12 分）
图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图。
（I）求直方图中 $x$ 的值．
（II）在棱 $\mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 上是否存在一点 F ，使 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{~F} / /$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{BE}$ ？证明你的结论．
图5
## 19．（本小题满分 13 分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 8 km 的 $A, B$ 两点各建一个考察基地。视冰川面为平面形，以过 $A, B$ 两点的直线为 $x$ 轴，线段 $A B$ 的垂直平分线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系（图6）。在直线 $x=2$ 的右侧，考察范围为到点 $B$ 的距离不超过 $\frac{6 \sqrt{5}}{5} \mathrm{~km}$ 的区域；在直线 $x=2$ 的左侧，考察范围为到 $A, B$ 两点的距离之和不超过 $4 \sqrt{5} \mathrm{~km}$ 的区域。
（I）求考察区域边界曲线的方程；
（II）如图6所示，设线段 $P_{1} P_{2}, P_{2} P_{3}$ 是冰川的部分边界线 （不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2 km ，以后每年移动的距离为前一年的 2 倍，求冰川边界线移动到考察区域所
图6
## 20．（本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=x^{2}+b x+c(b, c \in R)$ ，对任意的 $x \in R$ ，恒有 $f^{\prime}(x) \leq f(x)$ ．
（I）证明：当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \leq(x+c)^{2}$ ；
（II）若对满足题设条件的任意b，c，不等式 $f(c)-f(b) \leq M\left(c^{2}-b^{2}\right)$ 恒成立，求 M的最小值．
## 21．（本小题满分 13 分）
数列 $\left\{a_{n}\right\}\left(n \in N^{*}\right)$ 中，$a_{1}=a, a_{n+1}$ 是函数 $f_{n}(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2}\left(3 a_{n}+n^{2}\right) x^{2}+3 n^{2} a_{n} x$ 的极小值点。
（I）当 $a=0$ 时，求通项 $a_{n}$ ；
（II）是否存在 $a$ ，使数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．
## 2010年湖南省高考数学试卷（理科）
18．（13分）（2010•北京）已知函数 $f(x)=\ln (1+x)-x+\frac{k}{2} x^{2}(k \geq 0)$ ．
（I）当 $\mathrm{k}=2$ 时，求曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在点（ $1, \mathrm{f}$①）处的切线方程；
（II）求 f （ x ）的单调区间。
21．（本小题满分 14 分）
已知曲线 $C_{n}: y=n x^{2}$ ，点 $P_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right)\left(x_{n}>0, y_{n}>0\right)$ 是曲线 $C_{n}$ 上的点 $(n=1,2, \ldots)$ ，
（1）试写出曲线 $C_{n}$ 在 $P_{n}$ 点处的切线 $l_{n}$ 的方程，并求出 $l_{n}$ 与 $y$ 轴的交点 $Q_{n}$ 的坐标；
（2）若原点 $O(0,0)$ 到 $l_{n}$ 的距离与线段 $P_{n} Q_{n}$ 的长度之比取得最大值，试求点 $P_{n}$ 的坐标 $\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ；
③设 $m$ 与 $k$ 为两个给定的不同的正整数，$x_{n}$ 与 $y_{n}$ 是满足（2）中条件的点 $P_{n}$ 的坐标，
证明：$\sum_{n=1}^{s}\left|\sqrt{\frac{(m+1) x_{n}}{2}}-\sqrt{(k+1) y_{n}}\right|<|\sqrt{m s}-\sqrt{k s}|(s=1,2, \ldots)$ ．
21．（本小题满分13分）
已知函数 $f(x)=\frac{a}{x}+x+(a-1) \ln x+15 a$ ，其中 $\mathrm{a}<0$ ，且 $\mathrm{a} \neq-1$ ．
（I）讨论函数 $f(x)$ 的单调性；
（II）设函数 $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{X})=\left\{\begin{array}{l}\left(-2 x^{3}+3 a x^{3}+6 a x-4 a^{2}-6 a\right) e^{x}, x \leq 1 \\ e \cdot f(x), x>1\end{array} \quad(\mathrm{e}\right.$ 是自然数的底数）。
是否存在 a ，使 $g(x)$ 在 $[\mathrm{a},-$
a］上为减函数？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由。
## 2010年湖南省高考数学试卷（文科）
（21）（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)=x c^{-x}(x \in R)$
（I）求函数 $f(x)$ 的单调区间和极值；
（II）已知函数 $y=g(x)$ 的图象与函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，证明当
$ x>1 \text { 时, } f(x)>g(x) $
（III）如果 $x_{1} \neq x_{2}$ ，且 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ ，证明 $x_{1}+x_{2}>2$
21．（12分）已知函数 $f(x)=-x^{2}+a x+1-\ln x$ ．
（I）当 $\mathrm{a}=3$ 时，求函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调递增区间；
（II）若 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 上是减函数，求实数 $a$ 的取值范围．
（20）（本小题满分12分）
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=a x^{3}-\frac{3}{2} x^{2}+1(x \in R)$ ，其中 $\mathrm{a}>0$ ．
（I）若 $\mathrm{a}=1$ ，求曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在点（2， $\mathrm{f}(2))$ 处的切线方程；
（II）若在区间 $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ 上， $\mathrm{f}(\mathrm{x})>0$ 恒成立，求 a 的取值范围．
（20）（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=x^{3}+2 b x^{2}+c x-2$ 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 $y=5 x-10$ ．
（I）求函数 $f(x)$ 的解析式；
（II）设函数 $g(x)=f(x)+\frac{1}{3} m x$ ，若 $\mathrm{g}(x)$ 的极值存在，求实数 m 的取值范围以及函数 $g(x)$ 取得极值时对应的自变量 x 的值．．
（20）（满分 12 分）
已知函数 $f(x)=\left(x^{2}+a x-2 a^{2}+3 a\right) e^{x}(x \in R)$ ，其中 $a \in R$
①当 $a=0$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线的斜率；
②当 $a \neq \frac{2}{3}$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间与极值。
20．（12分）（2009•陕西）已知函数 $f(x)=x^{3}-3 a x-1, a \neq 0$
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极值，直线 $y=m$ 与 $y=f(x)$ 的图象有三个不同的交点，求 $m$ 的取值范围。
20．（12分）（2009•陕西）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln (\mathrm{ax}+1)+\frac{1-\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}, ~ \mathrm{x} \geq 0$ ，其中 $\mathrm{a}>0$ ．
（I）若 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值，求 $a$ 的值；
（II）求 $f(x)$ 的单调区间；
（III）若 $f(x)$ 的最小值为 1 ，求 $a$ 的取值范围．
（21）（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=\frac{1}{2} x^{2}-a x+(a-1) \ln x, a>1$
（I）讨论函数 $f(x)$ 的单调性；
（II）证明：若 $a<5$ ，则对任意 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} \in(0,+\infty), \mathrm{x}_{1} \neq \mathrm{x}_{2}$ ，有
$\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}>-1 。$
（21）（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=x^{3}-3 a x^{2}-9 a^{2} x+a^{3}$ ．
①设 $a=1$ ，求函数 $f(x)$ 的极值；
（2）若 $a>\frac{1}{4}$ ，且当 $x \in[1,4 a]$ 时，$\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 12 \mathrm{a}$ 恒成立，试确定 $a$ 的取值范围．
21．（12分）已知函数 $f(x)=x^{4}-3 x^{2}+6$ ．
（I）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）设点 P 在曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 上，若该曲线在点 P 处的切线 I 通过坐标原点，求 I 的方程。
21．（12分）设函数 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-(1+a) x^{2}+4 a x+24 a$ ，其中常数 $a>1$ ，
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）若当 $x \geq 0$ 时，$f(x)>0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
22．（12分）设函数 $f(x)=x^{2}+a \ln (1+x)$ 有两个极值点 $x_{1} , x_{2}$ ，且 $x_{1}
22．（12分）设函数 $f(x)=x^{3}+3 b x^{2}+3 c x$ 有两个极值点 $x_{1} , x_{2}$ ，且 $x_{1} \in[-1,0], x$
$ { }_{2} \in[1,2] . $
（1）求 $b$ 、 $c$ 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点 $(b, c)$ 的区域；
（2）证明：$-10 \leqslant f\left(x_{2}\right) \leqslant-\frac{1}{2}$ ．
8．函数 $f(x)=(x-3) e^{x}$ 的单调递增区间是
19．（12分）已知函数 $f(x)=-x^{2}+a x+1-\ln x$ ．
（I）当 $\mathrm{a}=3$ 时，求函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调递增区间；
（II）若 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 上是减函数，求实数 $a$ 的取值范围．
21．（本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}+x^{3}-\frac{9}{2} x^{2}+c x$ 有三个极值点。
（I）证明：$-27
## 2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科数学能力测试
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
21．（12 分）（2008 • 山东）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{(1-\mathrm{x})^{\mathrm{n}}}+\mathrm{aln}(\mathrm{x}-1)$ ，其中 $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ，a为常数．
（I）当 $\mathrm{n}=2$ 时，求函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的极值；
（II）当 $\mathrm{a}=1$ 时，证明：对任意的正整数 n ，当 $\mathrm{x} \geq 2$ 时，有 $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \leq \mathrm{x}-1$ 。
21、（本小题满分 12 分）设函数 $f(x)=a x-\frac{b}{x}$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2, f(2))$ 处的切线方程为 $7 x-4 y-12=0$ 。（1）求 $y=f(x)$ 的解析式；（2）证明：曲线 $y=f(x)$ 上任一点处的切线与直线 $x=0$ 和直线 $y=x$ 所围成的三角形面积为定值，并求此定值。
（21）（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)=x^{4}+a x^{3}+2 x^{2}+b(x \in R)$ ，其中 $a, b \in R$ ．
（I）当 $a=-\frac{10}{3}$ 时，讨论函数 $f(x)$ 的单调性；
（II）若函数 $f(x)$ 仅在 $x=0$ 处有极值，求 $a$ 的取值范围；
（III）若对于任意的 $a \in[-2,2]$ ，不等式 $f(x) \leq 1$ 在 $[-1,1]$ 上恒成立，求 $b$ 的取值范围．
22．（14分）（2008 • 山东）如图，设抛物线方程为 $\mathrm{x}^{2}=2 \mathrm{py} ~(\mathrm{p}>0), \mathrm{M}$ 为直线 $\mathrm{y}=-2 \mathrm{p}$ 上任意一点，过 $M$ 引抛物线的切线，切点分别为 $A, B$。
（I）求证： $\mathrm{A}, \mathrm{M}, \mathrm{B}$ 三点的横坐标成等差数列；
（II）已知当 M 点的坐标为 $(2,-2 \mathrm{p})$ 时，$|\mathrm{AB}|=4 \sqrt{10}$．求此时抛物线的方程；
（III）是否存在点 M，使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 $\mathrm{x}^{2}=2 \mathrm{py}(\mathrm{p}>0)$ 上，其中，点 C 满足 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$（ O 为坐标原点）。若存在，求出所有适合题意的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
## 2008年山东省高考数学试卷（理科）
21．（12分）已知函数 $f(x)=-x^{2}+a x+1-\ln x$ ．
（I）当 $a=3$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调递增区间；
（II）若 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 上是减函数，求实数 $a$ 的取值范围．
22．（本小题满分 14 分）
设函数 $f(x)=\frac{\ln x}{1+x}-\ln x+\ln (x+1)$ ．
（I）求 $f(x)$ 的单调区间和极值；
（II）是否存在实数 $a$ ，使得关于 $x$ 的不等式 $f(x) \geqslant a$ 的解集为 $(0,+\infty)$ ？若存在，求 $a$的取值范围；若不存在，试说明理由．
22．（12分）设函数 $f(x)=x-x \ln x$ ．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $0
（II）证明：$a_{n}
22．（14 分）（ $2008 \bullet$ 四川）设函数 $f(x)=x^{3}-x^{2}-x+2$ ．
（I）求 $f(x)$ 的单调区间和极值；
（II）若当 $x \in[-1,2]$ 时，$-3 \leq a f(x)+b \leq 3$ ，求 $a-b$ 的最大值。
22．（14 分）（2008 • 四川）已知 $x=3$ 是函数 $f(x)=a \ln (1+x)+x^{2}-10 x$ 的一个极值点．
（I）求 a ；
（II）求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（III）若直线 $\mathrm{y}=\mathrm{b}$ 与函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}$（ x ）的图象有 3 个交点，求 b 的取值范围．
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