导数在研究函数中的作用　·　历年高考数学真题与解析

21．已知 $f(x)=a x-\frac{\sin x}{\cos ^{3} x}, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ （1）若 $\boldsymbol{a}=8$ ，讨论 $f(x)$ 的单调性； （2）若 $f(x)<\sin 2 x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

8．函数 $f(x)=x^{3}+a x+2$ 存在 3 个零点，则 $a$ 的取值范围是（ ）

20．已知 $a>0$ ，函数 $f(x)=a x-x e^{x}$ ． （I）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程： （II）证明 $f(x)$ 存在唯一的极值点 （III）若存在 $a$ ，使得 $f(x) \leq a+b$ 对任意 $x \in \mathbf{R}$ 成立，求实数 $b$ 的取值范围．

19．已知函数 $f(x)=12-x^{2}$ ． （I）求曲线 $y=f(x)$ 的斜率等于 -2 的切线方程； （II）设曲线 $y=f(x)$ 在点 $(t, f(t))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 $S(t)$ ，求 $S(t)$ 的最小值．

19．（13 分）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left[\mathrm{ax}^{2}-(3 \mathrm{a}+1) \mathrm{x}+3 \mathrm{a}+2\right] \mathrm{e}^{\mathrm{x}}$ ． （I）若曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在点 $(2, \mathrm{f}(2))$ 处的切线斜率为 0 ，求 a ； （II）若 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\mathrm{x}=1$ 处取得极小值，求 a 的取值范围．