导数在研究函数中的作用　·　历年高考数学真题与解析

6． 已知函数 $f(x)=\frac{x+2}{\mathrm{e}^{x}+a}$ 的最大值为 1 ，则 $a=$

10． 已知 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x>0$ 时，$f(x)=\left(x^{2}-3\right) e^{x}+2$ ，则

$13. x = 2$是 $f(x) =(x$−1)(x−2)(x − a)的极值点，则 f(0) = .

19. 已知 $f ( x ) = x ^ { 2 } - ( m + 2 ) x + m \mathrm { l n } x , m \in R$

(1)若 $f ( 1 ) = 0$ ,求不等式 $f ( x ) \leqslant x ^ { 2 } - 1$ 的解集；

(2) 若函数 $y = f ( x )$ 满足在 $( 0 , + \infty )$ 上存在极大值，求m的取值范围；

10．设函数 $f(x)=(x-1)^{2}(x-4)$ ，则（ ）

11．设函数 $f(x)=2 x^{3}-3 a x^{2}+1$ ，则 ()

14．曲线 $y=x^{3}-3 x$ 与 $y=-(x-1)^{2}+a$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个不同的交点，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$。

17．已知函数 $f(x)=a(x-1)-\ln x+1$ ．
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若 $a \leq 2$ 时，证明：当 $x>1$ 时，$f(x)<\mathrm{e}^{x-1}$ 恒成立．

18．已知函数 $f(x)=\ln \frac{x}{2-x}+a x+b(x-1)^{3}$
（1）若 $b=0$ ，且 $f^{\prime}(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的最小值；
（2）证明：曲线 $y=f(x)$ 是中心对称图形；
（3）若 $f(x)>-2$ 当且仅当 $1<x<2$ ，求 $b$ 的取值范围．

10．已知函数 $f(x)=x^{3}-x+1$ ，则（ ）

11．函数 $f(x)=\cos x+(x+1) \sin x+1$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 的最小值、最大值分别为（ ）

12．已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$ ，记 $g(x)=f^{\prime}(x)$ ，若 $f\left(\frac{3}{2}-2 x\right)$ ， $g(2+x)$ 均为偶函数，则（ ）

12．已知 $a=\frac{31}{32}, b=\cos \frac{1}{4}, c=4 \sin \frac{1}{4}$ ，则（）

16．已知 $x=x_{1}$ 和 $x=x_{2}$ 分别是函数 $f(x)=2 a^{x}-\mathrm{e} x^{2} \quad(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 的极小值点和极大值点．若 $x_{1}<x_{2}$ ，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$。

20．已知函数 $f(x)=a x-\frac{1}{x}-(a+1) \ln x$ ．
（1）当 $a=0$ 时，求 $f(x)$ 的最大值；
（2）若 $f(x)$ 恰有一个零点，求 $a$ 的取值范围．

20．已知 $a, b \in \mathbf{R}$ ，函数 $f(x)=e^{x}-a \sin x, g(x)=b \sqrt{x}$
（1）求函数 $y=f(x)$ 在 $(0, f(0))$ 处的切线方程；
（2）若 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 有公共点，
（i）当 $a=0$ 时，求 $b$ 的取值范围；
（ii）求证：$a^{2}+b^{2}>\mathrm{e}$ ．

22．已知函数 $f(x)=e^{x}-a x$ 和 $g(x)=a x-\ln x$ 有相同的最小值．
（1）求 $a$ ；
（2）证明：存在直线 $y=b$ ，其与两条曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列。

6．当 $x=1$ 时，函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}$ 取得最大值 -2 ，则 $f^{\prime}(2)=~()$

8．当 $x=1$ 时，函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}$ 取得最大值 -2 ，则 $f^{\prime}(2)=~()$

15．已知函数 $f(x)=|\lg x|-k x-2$ ，给出下列四个结论：
①若 $k=0$ ，则 $f(x)$ 有两个零点；
②$\exists k<0$ ，使得 $f(x)$ 有一个零点；
③$\exists k<0$ ，使得 $f(x)$ 有三个零点；
④$\exists k>0$ ，使得 $f(x)$ 有三个零点。
以上正确结论得序号是 $\_\_\_\_$ ．

19．已知函数 $f(x)=\frac{3-2 x}{x^{2}+a}$ ．
（1）若 $a=0$ ，求 $y=f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处切线方程；
（2）若函数 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极值，求 $f(x)$ 的单调区间，以及最大值和最小值．

20．设函数 $f(x)=a^{2} x^{2}+a x-3 \ln x+1$ ，其中 $a>0$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $y=f(x)$ 的图象与 $x$ 轴没有公共点，求 $a$ 的取值范围．

20．设函数 $f(x)=\ln (a-x)$ ，已知 $x=0$ 是函数 $y=x f(x)$ 的极值点．

（1）求 $a$ ；
②设函数 $g(x)=\frac{x+f(x)}{x f(x)}$ ．证明：$g(x)<1$ ．

20．已知函数 $f(x)=e^{x}-a(x+2)$ ．
（1）当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围．

21．已知函数 $f(x)=2 \ln x+1$ ．
（1）若 $f(x) \leq 2 x+c$ ，求 $c$ 的取值范围；
②设 $a>0$ 时，讨论函数 $g(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 的单调性．

21．已知函数 $f(x)=\sin ^{2} x \sin 2 x$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 在区间 $(0, \pi)$ 的单调性；
（2）证明：$|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$ ；
③设 $n \in N^{*}$ ，证明： $\sin ^{2} x \sin ^{2} 2 x \sin ^{2} 4 x \ldots \sin ^{2} 2^{n} x \leq \frac{3^{n}}{4^{n}}$ ．

10．如图，正方形 $O A B C$ 的边长为 $a(a>1)$ ，函数 $y=3 x^{2}$ 交 $A B$ 于点 $Q$ ，函数 $y=x^{-\frac{1}{2}}$ 与 $B C$ 交于点 $P$ ，当 $|A Q|+|C P|$最小时，$a$ 的值为 $\_\_\_\_$

13．（5 分）设函数 $f(x)=e^{x}+a e^{-x}$（ $a$ 为常数）．若 $f(x)$ 为奇函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$ －1 ；若 $f$ （ $x$ ）是 $R$ 上的增函数，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （ $-\infty$ ，0］ ．

22．已知实数 $a \neq 0$ ，设函数 $f(x)=a \ln x+\sqrt{x+1}, x>0$ ．
（1）当 $a=-\frac{3}{4}$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（2）对任意 $x \in\left[\frac{1}{\mathrm{e}^{2}},+\infty\right)$ 均有 $f(x) \leq \frac{\sqrt{x}}{2 a}$ ，求 $a$ 的取值范围．
注： $\mathrm{e}=2.71828 \ldots$ 为自然对数的底数．

9．已知 $a, b \in R$, 函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, x<0 \\ \frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2}(a+1) x^{2}+a x, x \geq 0\end{array}\right.$ ，若函数 $y=f(x)-a x-b$ 恰有三个零点，则

11．若函数 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+1(a \in \mathbf{R})$ 在 $(0,+\infty)$ 内有且只有一个零点，则 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值与最小值的和为 $\_\_\_\_$ ．

17．（本小题满分 14 分）
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 $O$ 的一段圆弧 $M P N ~(P$ 为此圆弧的中点 ）和线段 $M N$ 构成．已知圆 $O$ 的半径为 40 米，点 $P$ 到 $M N$ 的距离为 50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚 I 内的地块形状为矩形ABCD，大棚 II 内的地块形状为 $\triangle C D P$ ，要求 $A, B$ 均在线段 $M N$ 上，$C, D$ 均在圆弧上．设 $O C$与 $M N$ 所成的角为 $\theta$ ．
（1）用 $\theta$ 分别表示矩形 $A B C D$ 和 $\triangle C D P$ 的面积，并确定 $\sin \theta$

（第17题）

的取值范围；
（2）若大棚 I 内种植甲种蔬菜，大棚 II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 $4: 3$ ．求当 $\theta$ 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

19．（本小题满分 16 分）
记 $f^{\prime}(x), g^{\prime}(x)$ 分别为函数 $f(x), g(x)$ 的导函数．若存在 $x_{0} \in \mathbf{R}$ ，满足 $f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right)$ 且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=g^{\prime}\left(x_{0}\right)$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的一个＂$S$ 点＂．
（1）证明：函数 $f(x)=x$ 与 $g(x)=x^{2}+2 x-2$ 不存在＂$S$ 点＂；
（2）若函数 $f(x)=a x^{2}-1$ 与 $g(x)=\ln x$ 存在＂$S$ 点＂，求实数 $a$ 的值；
（3）已知函数 $f(x)=-x^{2}+a, g(x)=\frac{b \mathrm{e}^{x}}{x}$ ．对任意 $a>0$ ，判断是否存在 $b>0$ ，使函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内存在＂ S 点＂，并说明理由．

21．（12分）已知函数 $f(x)=\frac{1}{x}-x+a \ln x$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，证明：$\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}<a-2$ ．

7．（5分）函数 $y=-x^{4}+x^{2}+2$ 的图象大致为（ ）

9．（5分）函数 $y=-x^{4}+x^{2}+2$ 的图象大致为（ ）

21．（12分）已知函数 $f(x)=\ln x+a x^{2}+(2 a+1) x$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）当 $a<0$ 时，证明 $f(x) \leq-\frac{3}{4 a}-2$ ．

21．（12分）已知函数 $f(x)=x-1-a \ln x$ ．
（1）若 $f(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的值；
②设 $m$ 为整数，且对于任意正整数 $n, ~\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \ldots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)<m$ ，求 m 的最小值。

7．（5 分）函数 $y=f(x)$ 的导函数 $y=f^{\prime}(x)$ 的图象如图所示，则函数 $y=f(x)$ 的图象可能是（ ）

14．（5 分）设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{3}-3 x, x \leqslant a \\ -2 x, x>a\end{array}\right.$ ．
（1）若 $a=0$ ，则 $f(x)$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 2 ；
（2）若 $f(x)$ 无最大值，则实数 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （ $-\infty,-1$ ）。

21．（12分）设函数 $f(x)=\ln x-x+1$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）证明当 $x \in(1,+\infty)$ 时， $1<\frac{x-1}{\ln x}<x$ ；
③设 $c>1$ ，证明当 $x \in(0,1)$ 时， $1+(c-1) x>c^{x}$ ．

6．已知 $a$ 函数 $f(x)=x^{3}-12 x$ 的极小值点，则 $a=$

10．若定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=-1$ ，其导函数 $f^{\prime}(x)$ 满足 $f^{\prime}(x)>k>1$ ，则下列结论中一定错误的是

12．对二次函数 $f(x)=a x^{2}+b x+c$（ $a$ 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）

12．＂对任意 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), k \sin x \cos x<x$＂是＂$k<1$＂的

12．（5分）设函数 $f^{\prime}(x)$ 是奇函数 $f(x)(x \in R)$ 的导函数，$f(-1)=0$ ，当 $x >0$ 时，$x f^{\prime}(x)-f(x)<0$ ，则使得 $f(x)>0$ 成立的 $x$ 的取值范围是 $($

12．（5分）设函数 $f(x)=e^{x}(2 x-1)-a x+a$ ，其中 $a<1$ ，若存在唯一的整数 $x$

0 使得 $f\left(x_{0}\right)<0$ ，则 $a$ 的取值范围是（ ）

12．（5分）设函数 $f(x)=\ln (1+|x|)-\frac{1}{1+x^{2}}$ ，则使得 $f(x)>f(2 x-1)$ 成立的x的取值范围是（）

15、已知函数 $f(x)=2^{x}, g(x)=x^{2}+a x$（其中 $a \in R$ ）．对于不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，设 $m=\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}, n= \frac{g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}$，现有如下命题：
①对于任意不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，都有 $m>0$；
②对于任意的 $a$ 及任意不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，都有 $n>0$；
③对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，使得 $m=n$；
④对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，使得 $m=-n$．
其中真命题有 $\_\_\_\_$ （写出所有真命题的序号）．

15．已知函数 $f(x)=2^{x}, g(x)=x^{2}+a x$（其中 $a \in R$ ）．对于不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，设 $m=\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}$， $n=\frac{g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}$.
现有如下命题：
①对于任意不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，都有 $m>0$；
②对于任意的 $a$ 及任意不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，都有 $n>0$；
③对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，使得 $m=n$；
④对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，使得 $m=-n$．
其中的真命题有 $\_\_\_\_$ （写出所有真命题的序号）．

19．（13 分）设函数 $f(x)=\frac{x^{2}}{2}-k \ln x, k>0$ ．
（1）求 $f(x)$ 的单调区间和极值；
（2）证明：若 $f(x)$ 存在零点，则 $f(x)$ 在区间 $(1, \sqrt{e}]$ 上仅有一个零点．

20．已知函数 $\mathrm{f}(x)=\ln (1+x), g(x)=k x,(\mathrm{k} \hat{\mathrm{I}} R)$ ，
（I）证明：当 $x>0$ 时， $\mathrm{f}(x)<x$ ；
（II）证明：当 $k<1$ 时，存在 $x_{0}>0$ ，使得对任意 $x \hat{\mathrm{I}}\left(0, x_{0}\right)$ ，恒有 $\mathrm{f}(x)>g(x)$ ；
（III）确定 k 的所以可能取值，使得存在 $t>0$ ，对任意的 $x \hat{\mathrm{I}}(0, \mathrm{t})$ ，恒有 $|\mathrm{f}(x)-g(x)|<x^{2}$ ．

20．（本小题满分 12 分，（1）小问 7 分，（2）小问 5 分）
设函数 $f(x)=\frac{3 x^{2}+a x}{e^{x}}(a \in R)$
（1）若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极值，确定 $a$ 的值，并求此时曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）若 $f(x)$ 在 $[3,+\infty)$ 上为减函数，求 $a$ 的取值范围。

21．已知函数 $f(x)=\frac{a x}{(x+r)^{2}}(a>0, r>0)$
（I）求 $f(x)$ 的定义域，并讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）若 $\frac{a}{r}=400$ ，求 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内的极值．

11．当 $x \in[-2,1]$ 时，不等式 $a x^{3}-x^{2}+4 x+3 \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是

12．当 $x \in[-2,1]$ 时，不等式 $a x^{3}-x^{2}+4 x+3 \geq 0$ 恒成立，则实数 a 的取值范围是

18．（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=\left(4 x^{2}+4 a x+a^{2}\right) \sqrt{x}$ ，其中 $a<0$ ．
（1）当 $a=-4$ 时，求 $f(x)$ 的单调递增区间；
（2）若 $f(x)$ 在区间 $[1,4]$ 上的最小值为 8 ，求 $a$ 的值．

19．（本小题满分 12 分）

如图，四棱锥 $P-A B C D$ 中，$A B C D$ 为矩形，平面 $P A D \perp$ 平面 $A B C D$ ．
（1）求证：$A B \perp P D$ ；
（2）若 $\angle B P C=90^{\circ}, P B=\sqrt{2}, P C=2$ ，问 $A B$ 为何值时，四棱锥 $P-A B C D$ 的体积最大？并求此时平面 $P B C$ 与平面 $D P C$ 夹角的余弦值．

20．（本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II）小问 3 分，（III）小问 5 分）

已知函数 $f(x)=a e^{2 x}-b e^{-2 x}-c x(a, b, c \in R)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$ 为偶函数，且曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线的斜率为 $4-c$．
（I）确定 $a, b$ 的值；
（II）若 $c=3$，判断 $f(x)$ 的单调性；
（III）若 $f(x)$ 有极值，求 $c$ 的取值范围．

21．（本小题满分13分）已知函数 $f(x)=x\cos x-\sin x+1(x>0)$．
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）记 $x_i$ 为 $f(x)$ 的从小到大的第 $i(i\in N^*)$ 个零点，证明：对一切 $n\in N^*$，有 $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+\cdots+\frac{1}{x_n^2}<\frac{2}{3}$．

21．（12分）已知函数 $f(x)=x^{3}-3 x^{2}+a x+2$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点（ 0,2 ）处的切线与 x 轴交点的横坐标为 -2 ．
（I）求 $a$ ；
（II）证明：当 $k<1$ 时，曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=k x-2$ 只有一个交点．

21．已知函数 $f(x)=e^{x}-a x^{2}-b x-1$，其中 $a, b \in R, e=2.71828 \cdots$ 为自然对数的底数。
（I）设 $g(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导函数，求函数 $g(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最小值；
（II）若 $f(1)=0$，函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内有零点，证明：$e-2<a<1$．

21．（12分）已知函数 $f(x)=e^{x}-e^{-x}-2 x$ ．
（I）讨论 $f$（ $x$ ）的单调性；
（II）设 $g(x)=f(2 x)-4 b f(x)$ ，当 $x>0$ 时，$g(x)>0$ ，求 $b$ 的最大值；
（III）已知 $1.4142<\sqrt{2}<1.4143$ ，估计 $\ln 2$ 的近似值（精确到 0.001 ）．

21．（12分）函数 $f(x)=a x^{3}+3 x^{2}+3 x(a \neq 0)$ ．
（I）讨论 $f$（ $x$ ）的单调性；
（II）若 $f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 是增函数，求 $a$ 的取值范围．

9．已知 $f(x)=\ln (1+x)-\ln (1-x), x \in(-1,1)$．现有下列命题：
①$f(-x)=-f(x)$；②$f\left(\frac{2 x}{x^{2}+1}\right)=2 f(x)$；③$|f(x)| \geq 2|x|$。其中的所有正确命题的序号是

9．若 $0<x_{1}<x_{2}<1$，则

10．设函数 $f(x)=\sqrt{e^{x}+x-a} \quad\left(a \in R, e\right.$ 为自然对数的底数）．若曲线 $y=\sin x$ 上存在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$使得 $f\left(f\left(y_{0}\right)\right)=y_{0}$，则 $a$ 的取值范围是

10、设函数 $f(x)=\sqrt{e^{x}+x-a} \quad(a \in R, e$ 为自然对数的底数）。若存在 $b \in[0,1]$ 使 $f(f(b))=b$成立，则 $a$ 的取值范围是

10．已知 $a$ 为常数，函数 $f(x)=x(\ln x-a x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}\left(x_{1}<x_{2}\right)$，则

10．（5分）已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ ，下列结论中错误的是（ ）

11．（5分）已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ ，下列结论中错误的是（）

（12）设函数 $f(x)$ 满足 $x^{2} f^{\prime}(x)+2 x f(x)=\frac{e^{x}}{x}, f(2)=\frac{e^{2}}{8}$，则 $x>0$，时，$f(x)$

16．（5分）若函数 $f(x)=\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+a x+b\right)$ 的图象关于直线 $x=-2$ 对称，则 $f(x)$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 16 ．

（19）（本小题满分 14 分）
已知首项为 $\frac{3}{2}$ 的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in N^{*}\right)$ ，且 $-2 S_{2}, S_{3}, 4 S_{4}$ 成等差数列．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）证明 $S_{n}+\frac{1}{S_{n}} \leq \frac{13}{6}\left(n \in N^{*}\right)$ ．

21．（12分）已知函数 $f(x)=x^{3}+3 a x^{2}+3 x+1$ ．
（I）求 $a=\sqrt{2}$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）若 $x \in[2,+\infty)$ 时，$f(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围．

21．（本小题满分 13 分）
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1-\mathrm{x}}{1+x^{2}} e^{x}$．
（I）求 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调区间；
（II）证明：当 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)\left(\mathrm{x}_{1} \neq \mathrm{x}_{2}\right)$ 时， $\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}<0$．

21．（14分）（2013•广东）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-1) \mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{kx}^{2}(\mathrm{k} \in \mathrm{R})$ ．
①当 $\mathrm{k}=1$ 时，求函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调区间；
②当 $\mathrm{k} \in\left(\frac{1}{2}, 1\right]$ 时，求函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $[0, \mathrm{k}]$ 上的最大值 M ．

2013年广东省高考数学试卷（理科）

22．（本小题满分 14 分）
设 $n$ 为正整数，$r$ 为正有理数．
（I）求函数 $f(x)=(1+x)^{r+1}-(r+1) x-1(x>-1)$ 的最小值；
（II）证明：$\frac{n^{r+1}-(n-1)^{r+2}}{r+1}<n^{r}<\frac{(n+1)^{r+1}-n^{r+1}}{r+1}$；
（III）设 $x \in R$，记 $[x]$ 为不小于 $x$ 的最小整数，例如 $[2]=2,[\pi]=4,\left[-\frac{3}{2}\right]=1$．
令 $S=\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{82}+\sqrt[3]{83}+\cdots \cdots+\sqrt[3]{125}$，求 $[S]$ 的值。
（参考数据： $80^{\frac{4}{3}}=344.7,81^{\frac{4}{3}}=350.5,124^{\frac{4}{3}}=618.3,126^{\frac{4}{3}}=631.7$．）

9．（5分）若函数 $f(x)=x^{2}+a x+\frac{1}{x}$ 在 $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 是增函数，则 $a$ 的取值范围是

10．（5分）已知函数 $y=x^{3}-3 x+c$ 的图象与 $x$ 轴恰有两个公共点，则 $c=$（）

10．（5分）已知函数 $f(x)=\frac{1}{\ln (x+1)-x}$ ，则 $y=f(x)$ 的图象大致为（）

15．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是

12．（5分）设点 P 在曲线 $\mathrm{y}=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{\mathrm{x}}$ 上，点 Q 在曲线 $\mathrm{y}=\ln (2 \mathrm{x})$ 上，则 $|\mathrm{PQ}|$ 最小值为（ ）

20．（2012•天津）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{3} \mathrm{x}^{3}+\frac{1-\mathrm{a}}{2} \mathrm{x}^{2}-\mathrm{ax}-\mathrm{a}, \mathrm{x} \in \mathrm{R}$ ，其中 $\mathrm{a}>0$ ．
（1）求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若函数 $f(x)$ 在区间 $(-2,0)$ 内恰有两个零点，求 $a$ 的取值范围；
（3）当 $a=1$ 时，设函数 $f(x)$ 在区间 $[t, t+3]$ 上的最大值为 $M(t)$ ，最小值为 $m(t)$ 。记 $g(t)=M(t)-m(t)$ ，求函数 $g(t)$ 在区间 $[-3,-1]$ 上的最小值．

2012年天津市高考数学试卷（文科）

21．（12分）已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=f^{\prime}(1) e^{x-1}-f(0) x+\frac{1}{2} x^{2}$ ；
（1）求 $f$（ $x$ ）的解析式及单调区间；
（2）若 $f(x) \geqslant \frac{1}{2} x^{2}+a x+b$ ，求（a＋1）b的最大值．

22．（本题满分 14 分）已知 $a>0, b \in R$ ，函数 $f(x)=4 a x^{3}-2 b x-a+b$ ．
（I）证明：当 $0 \leq x \leq 1$ 时，
（i）函数 $f(x)$ 的最大值为 $|2 a-b|+a$ ；
（ii）$f(x)+|2 a-b|+a \geq 0$ ；
（II）若 $-1 \leq f(x) \leq 1$ 对 $x \in[0,1]$ 恒成立，求 $a+b$ 的取值范围．

22．（本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=e^{x}-a x$ ，其中 $a>0$ ．
（I）若对一切 $x \in R, f(x) \geq 1$ 恒成立，求 $\boldsymbol{a}$ 的取值集合；
（II）在函数 $f(x)$ 的图象上取定两点 $A\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right), B\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)\left(x_{1}<x_{2}\right)$ ，记直线 $A B$ 的斜率为 $k$ ，证明：存在 $x_{0} \in\left(x_{1}, x_{2}\right)$ ，使 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=k$ 成立．

9．设定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 是最小正周期为 2 p 的偶函数，$f(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数，当 $x \in[0, \pi]$ 时， $0<f(x)<1$ ；当 $x \in(0, \pi)$ 且 $x \neq \frac{\pi}{2}$ 时，$\left(x-\frac{\pi}{2}\right) f^{\prime}(x)>0$ ．则函数 $y=f(x)-\sin x$ 在 $[-2 \pi, 2 \pi]$ 上的零点个数为（ ）

11．（5分）（2011•辽宁）函数 $f(x)$ 的定义域为 $R, f(-1)=2$ ，对任意 $x \in R, f^{\prime}(x) >2$ ，则 $f(x)>2 x+4$ 的解集为（ ）

8．（5分）（2011•湖南）设直线 $\mathrm{x}=\mathrm{t}$
与函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=\ln \mathrm{x}$ 的图象分别交于点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ ，则当 $|\mathrm{MN}|$ 达到最小时 t 的值为（ ）

12．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 $S(t)(S(0)=0)$ ，则导函数 $y=S^{\prime}(t)$ 的图像大致为

17．（本小题满分 12 分）
设函数 $f(x)=6 x^{3}+3(a+2) x^{2}+2 a x$ ．
（1）若 $f(x)$ 的两个极值点为 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} x_{2}=1$ ，求实数 $a$ 的值；
（2）是否存在实数 $a$ ，使得 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的单调函数？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由。

19．（本小题满分 12 分）
设函数 $f(x)=\ln x+\ln (2-x)+a x(a>0)$ 。
（1）当 $\mathrm{a}=1$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间。
（2）若 $f(x)$ 在 $(0,1]$ 上的最大值为 $\frac{1}{2}$ ，求 a 的值。

21．（12分）求函数 $f(x)=x^{3}-3 x$ 在 $[-3,3]$ 上的最值．

17．（本小题满分 12 分）
设函数 $f(x)=x^{3}-\frac{9}{2} x^{2}+6 x-a$
（1）对于任意实数 $x, f^{\prime}(x) \geq m$ 恒成立，求 $m$ 的最大值；
（2）若方程 $f(x)=0$ 有且仅有一个实根，求 $a$ 的取值范围

20．（12分）（2009•陕西）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln (\mathrm{ax}+1)+\frac{1-\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}, ~ \mathrm{x} \geq 0$ ，其中 $\mathrm{a}>0$ ．
（I）若 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值，求 $a$ 的值；
（II）求 $f(x)$ 的单调区间；
（III）若 $f(x)$ 的最小值为 1 ，求 $a$ 的取值范围．

21．（12分）设函数 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-(1+a) x^{2}+4 a x+24 a$ ，其中常数 $a>1$ ，
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）若当 $x \geq 0$ 时，$f(x)>0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

21．（12 分）（2008 • 山东）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{(1-\mathrm{x})^{\mathrm{n}}}+\mathrm{aln}(\mathrm{x}-1)$ ，其中 $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ，a为常数．
（I）当 $\mathrm{n}=2$ 时，求函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的极值；
（II）当 $\mathrm{a}=1$ 时，证明：对任意的正整数 n ，当 $\mathrm{x} \geq 2$ 时，有 $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \leq \mathrm{x}-1$ 。

22．（本小题满分 14 分）
设函数 $f(x)=\frac{\ln x}{1+x}-\ln x+\ln (x+1)$ ．
（I）求 $f(x)$ 的单调区间和极值；
（II）是否存在实数 $a$ ，使得关于 $x$ 的不等式 $f(x) \geqslant a$ 的解集为 $(0,+\infty)$ ？若存在，求 $a$的取值范围；若不存在，试说明理由．

22．（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\sqrt{\frac{a x}{a x+8}}, x \in(0,+\infty)$ ．
（1）当 $a=8$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）对任意正数 $a$ ，证明： $1<f(x)<2$ ．

22．（12分）设函数 $f(x)=\frac{\sin x}{2+\cos x}$ ．
（I）求 $f(x)$ 的单调区间；
（II）如果对任何 $x \geq 0$ ，都有 $f(x) \leq a x$ ，求 $a$ 的取值范围。