设 a ≠ 0，若 a 为函数 f(x)=a(x-a)^…——2021 高考数学第 10 题答案解析

【答案】D
【解析】

【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对 $a$ 进行分类讨论，画出 $f(x)$ 图象，即可得到 $a, b$ 所满足的关系，由此确定正确选项．

【详解】若 $a=b$ ，则 $f(x)=a(x-a)^{3}$ 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 $a^{1} b$ ．
$\therefore f(x)$ 有 $a$ 和 $b$ 两个不同零点，且在 $x=a$ 左右附近是不变号，在 $x=b$ 左右附近是变号的．依题意，$a$ 为

函数 $f(x)=a(x-a)^{2}(x-b)$ 的极大值点，∴ 在 $x=a$ 左右附近都是小于零的．
当 $a<0$ 时，由 $x>b, f(x) \leq 0$ ，画出 $f(x)$ 的图象如下图所示：

由图可知 $b<a, a<0$ ，故 $a b>a^{2}$ ．
当 $a>0$ 时，由 $x>b$ 时，$f(x)>0$ ，画出 $f(x)$ 的图象如下图所示：

由图可知 $b>a, ~ a>0$ ，故 $a b>a^{2}$ ．

综上所述，$a b>a^{2}$ 成立．
故选：D
【点晴】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答．