已知双曲线 C: x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^…——2022 高考数学第 21 题答案解析

（1）由右焦点 $F(2,0)$ 得 $c=2$。渐近线为 $y=\pm\sqrt3x$，故
\[ \frac ba=\sqrt3,\quad b=\sqrt3a. \]
又 $c^2=a^2+b^2$，所以
\[ 4=a^2+3a^2=4a^2, \]
得 $a=1$，$b=\sqrt3$。因此
\[ C:\ x^2-\frac{y^2}{3}=1. \]

（2）先排除直线 $AB$ 竖直的情形。若 $AB:x=2$，则
\[ A(2,2\sqrt3),\quad B(2,-2\sqrt3). \]
若②成立，则 $PQ$ 也竖直，与 $x_1>x_2$ 矛盾；若①③同时成立，则 $M$ 为 $AB$ 的中点 $(2,0)$。此时 $PM$ 为 $y=-\sqrt3(x-2)$，$QM$ 为 $y=\sqrt3(x-2)$。分别与 $x^2-\dfrac{y^2}{3}=1$ 联立，均得
\[ x^2-(x-2)^2=1\Rightarrow x=\frac54, \]
从而 $x_1=x_2$，矛盾。故在任意两个条件成立时，$AB$ 不竖直。

设直线 $AB$ 为
\[ y=k(x-2). \]
因它与两条渐近线交于两个不同点，故 $k\ne0$ 且 $k^2\ne3$。设 $M(x_0,y_0)$。

条件①等价于
\[ y_0=k(x_0-2), \]
即
\[ ky_0=k^2(x_0-2). \tag{i} \]

下面求条件③的等价形式。渐近线合并为 $y^2=3x^2$。将 $y=k(x-2)$ 代入，得
\[ (k^2-3)x^2-4k^2x+4k^2=0. \]
设 $A,B$ 的横坐标分别为 $x_A,x_B$，则
\[ x_A+x_B=\frac{4k^2}{k^2-3}. \]
线段 $AB$ 的中点 $N$ 满足
\[ x_N=\frac{2k^2}{k^2-3},\qquad y_N=k(x_N-2)=\frac{6k}{k^2-3}. \]
$|MA|=|MB|$ 等价于 $M$ 在 $AB$ 的垂直平分线上。因 $AB$ 斜率为 $k$，垂直平分线方程为
\[ x+ky=x_N+ky_N. \]
于是条件③等价于
\[ x_0+ky_0=\frac{8k^2}{k^2-3}. \tag{ii} \]

再求条件②的等价形式。记
\[ U=y_0+\sqrt3x_0,\qquad V=y_0-\sqrt3x_0. \]
过 $P$ 的直线斜率为 $-\sqrt3$，故
\[ \sqrt3x_1+y_1=U. \]
过 $Q$ 的直线斜率为 $\sqrt3$，故
\[ y_2-\sqrt3x_2=V, \]
即
\[ \sqrt3x_2-y_2=-V. \]
双曲线方程可写为
\[ (\sqrt3x+y)(\sqrt3x-y)=3. \]
因为 $P,Q$ 存在，上述两条直线均不是渐近线，所以 $U\ne0$，$V\ne0$。于是
\[ x_1=\frac{1}{2\sqrt3}\left(U+\frac3U\right), \]
\[ x_2=-\frac{1}{2\sqrt3}\left(V+\frac3V\right). \]
令 $D=y_0^2-3x_0^2=UV$，则
\[ x_1-x_2=\frac{y_0}{\sqrt3}\left(1+\frac3D\right), \]
\[ x_1+x_2-2x_0=-x_0\left(1+\frac3D\right). \]
又由 $PM,QM$ 的方程相减得
\[ y_1-y_2=-\sqrt3(x_1+x_2-2x_0). \]
因 $x_1>x_2$，故 $x_1-x_2\ne0$，从而 $y_0\ne0$，且公共因子 $1+\dfrac3D\ne0$。因此 $PQ$ 的斜率为
\[ m=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} =\frac{3x_0}{y_0}. \]
条件② $PQ\parallel AB$ 等价于 $m=k$，即
\[ ky_0=3x_0. \tag{iii} \]

于是三个条件分别等价于 (i)、(iii)、(ii)。下面证明其中任意两个可推出第三个。

若 (i)(iii) 成立，则
\[ 3x_0=k^2(x_0-2), \]
所以
\[ x_0=\frac{2k^2}{k^2-3}. \]
于是
\[ x_0+ky_0=x_0+3x_0=4x_0=\frac{8k^2}{k^2-3}, \]
即 (ii) 成立，故③成立。

若 (i)(ii) 成立，由 (i) 得 $ky_0=k^2(x_0-2)$，代入 (ii)：
\[ x_0+k^2(x_0-2)=\frac{8k^2}{k^2-3}. \]
整理得
\[ (k^2+1)x_0=2k^2+\frac{8k^2}{k^2-3} =\frac{2k^2(k^2+1)}{k^2-3}, \]
故
\[ x_0=\frac{2k^2}{k^2-3}. \]
从而
\[ ky_0=k^2(x_0-2)=\frac{6k^2}{k^2-3}=3x_0, \]
即 (iii) 成立，故②成立。

若 (ii)(iii) 成立，则
\[ x_0+3x_0=\frac{8k^2}{k^2-3}, \]
所以
\[ x_0=\frac{2k^2}{k^2-3},\qquad ky_0=3x_0=\frac{6k^2}{k^2-3}. \]
又
\[ k^2(x_0-2)=k^2\left(\frac{2k^2}{k^2-3}-2\right) =\frac{6k^2}{k^2-3}=ky_0, \]
即 (i) 成立，故①成立。

综上，三个条件中任意两个均可推出第三个。