2010_上海卷 (2010·文)
13．在平面直角坐标系中，双曲线 $\Gamma$ 的中心在原点，它的一个焦点坐标为 $(\sqrt{5}, 0)$ ，
$\vec{e}_{1}=(2,1) , \vec{e}_{2}=(2,-1)$ 分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线 $\Gamma$ 上的点 $P$ ，若
$$ \overrightarrow{O P}=\overrightarrow{a e}_{1}+\overrightarrow{b e_{2}}(a , b \in R) \text {, 则 } a , b \text { 满足的一个等式是_ } 4 a b=1 \_ \text {。 } $$
解析：因为 $\vec{e}_{1}=(2,1) , \vec{e}_{2}=(2,-1)$ 是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为
$$ y= \pm \frac{1}{2} x \text {, 又 } c=\sqrt{5}, \therefore a=2, b=1 $$
双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1, \overrightarrow{O P}=\overrightarrow{a e}_{1}+\overrightarrow{b e_{2}}=(2 a+2 b, a-b)$ ，
$$ \therefore \frac{(2 a+2 b)^{2}}{4}-(a-b)^{2}=1 \text {, 化简得 } 4 a b=1 $$