9．（2009 浙江理 9）过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右顶点 $A$ 作斜率为 -1 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 $B, C$ 。若 $\overrightarrow{A B}=\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}$ ，则双曲线的离心率是（）
参考答案
C 【解题关键点】对于 $A(a, 0)$ ，则直线方程为 $x+y-a=0$ ，直线与两渐近线的交点为 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ ， $B\left(\frac{a^{2}}{a+b}, \frac{a b}{a+b}\right), C\left(\frac{a^{2}}{a-b},-\frac{a b}{a-b}\right)$, 则有 $\overrightarrow{B C}=\left(\frac{2 a^{2} b}{a^{2}-b^{2}},-\frac{2 a^{2} b}{a^{2}-b^{2}}\right), \overrightarrow{A B}=\left(-\frac{a b}{a+b}, \frac{a b}{a+b}\right)$ ，因 $2 \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B C}, \therefore 4 a^{2}=b^{2}, \therefore e=\sqrt{5}$ ．