2009 浙江高考数学 2009_浙江卷 (2009·理) 第 9 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

9．（2009 浙江理 9）过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右顶点 $A$ 作斜率为 -1 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 $B, C$ 。若 $\overrightarrow{A B}=\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}$ ，则双曲线的离心率是（）

Accepted Answer

C 【解题关键点】对于 $A(a, 0)$ ，则直线方程为 $x+y-a=0$ ，直线与两渐近线的交点为 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ ， $B\left(\frac{a^{2}}{a+b}, \frac{a b}{a+b}ight), C\left(\frac{a^{2}}{a-b},-\frac{a b}{a-b}ight)$, 则有 $\overrightarrow{B C}=\left(\frac{2 a^{2} b}{a^{2}-b^{2}},-\frac{2 a^{2} b}{a^{2}-b^{2}}ight), \overrightarrow{A B}=\left(-\frac{a b}{a+b}, \frac{a b}{a+b}ight)$ ，因 $2 \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B C}, 	herefore 4 a^{2}=b^{2}, 	herefore e=\sqrt{5}$ ．

【答案】C 【解题关键点】对于 $A(a, 0)$ ，则直线方程为 $x+y-a=0$ ，直线与两渐近线的交点为 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ ， $B\left(\frac{a^{2}}{a+b}, \frac{a b}{a+b}ight), C\left(\frac{a^{2}}{a-b},-\frac{a b}{a-b}ight)$, 则有 $\overrightarrow{B C}=\left(\frac{2 a^{2} b}{a^{2}-b^{2}},-\frac{2 a^{2} b}{a^{2}-b^{2}}ight), \overrightarrow{A B}=\left(-\frac{a b}{a+b}, \frac{a b}{a+b}ight)$ ，因 $2 \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B C}, 	herefore 4 a^{2}=b^{2}, 	herefore e=\sqrt{5}$ ．

2009 高考数学第 9 题答案解析

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