2014_北京卷 (2014·理)
14．（5 分）设函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\phi)(A, \omega, \phi$ 是常数，$A>0, \omega>0)$ 若 $f$ （x）在区间 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上具有单调性，且 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=-f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ，则 $f(x)$ 的最小正周期为 $\_\_\_\_$ $\pi$。
$\pi$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】H1：三角函数的周期性；HK：由 $y=A \sin (\omega x+\phi)$ 的部分图象确定其解析式。
【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】由 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)$ 求出函数的一条对称轴，结合 $f(x)$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{6}\right.$ ， $\left.\frac{\pi}{2}\right]$ 上具有单调性，且 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=-f\left(\frac{\pi}{6}\right)$
可得函数的半周期，则周期可求。
【解答】解：由 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)$ ，可知函数 $f(x)$ 的一条对称轴为
$$ x=\frac{\frac{\pi}{2}+\frac{2 \pi}{3}}{2}=\frac{7 \pi}{12}, $$
则 $\mathrm{x}=\frac{\pi}{2}$ 离最近对称轴距离为 $\frac{7 \pi}{12}-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{12}$ ．
又 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=-f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ，则 $f(x)$ 有对称中心 $\left(\frac{\pi}{3}, 0\right)$ ，
由于 $f(x)$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上具有单调性，
则 $\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6} \leqslant \frac{1}{2} \mathrm{~T} \Rightarrow \mathrm{~T} \geqslant \frac{2 \pi}{3}$ ，从而 $\frac{7 \pi}{12}-\frac{\pi}{3}=\frac{\mathrm{T}}{4} \Rightarrow \mathrm{~T}=\pi$ ．
故答案为：$\pi$ ．
【点评】本题考查 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{A} \sin (\omega \mathrm{x}+\phi)$ 型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是中档题．