2016_北京卷 (2016·文)
17．（13 分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元／立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元／立方米收费，从该市
随机调查了 10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：
（1）如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 $80 \%$ 以上居民在该月的用水价格为 4 元／立方米， w 至少定为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 $\mathrm{w}=3$ 时，估计该市居民该月的人均水费．
【考点】B2：简单随机抽样；B8：频率分布直方图．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：概率与统计．
【分析】（1）由频率分布直方图得：用水量在 $[0.5,1)$ 的频率为 0.1 ，用水量在 $[1,1.5)$ 的频率为 0.15 ，用水量在 $[1.5,2)$ 的频率为 0.2 ，用水量在 $[2$ ， $2.5) ~$ 的频率为 0.25 ，用水量在 $[2.5,3)$ 的频率为 0.15 ，用水量在 $[3,3.5)$的频率为 0.05 ，用水量在 $[3.5,4)$ 的频率为 0.05 ，用水量在 $[4,4.5)$ 的频率为 0.05 ，由此能求出为使 $80 \%$ 以上居民在该用的用水价为 4 元／立方米， w 至少定为 3 立方米．
（2）当 $w=3$ 时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得：
用水量在 $[0.5,1)$ 的频率为 0.1 ，
用水量在 $[1,1.5)$ 的频率为 0.15 ，
用水量在 $[1.5,2)$ 的频率为 0.2 ，
用水量在 $[2,2.5)$ 的频率为 0.25 ，
用水量在 $[2.5,3)$ 的频率为 0.15 ，
用水量在 $[3,3.5)$ 的频率为 0.05 ，
用水量在 $[3.5,4)$ 的频率为 0.05 ，
用水量在 $[4,4.5)$ 的频率为 0.05 ，
∵ 用水量小于等于 3 立方米的频率为 $85 \%$ ，
∴ 为使 $80 \%$ 以上居民在该用的用水价为 4 元／立方米，
$\therefore \mathrm{w}$ 至少定为 3 立方米．
（2）当 $\mathrm{w}=3$ 时，该市居民的人均水费为：
$$ \begin{aligned} & (0.1 \times 1+0.15 \times 1.5+0.2 \times 2+0.25 \times 2.5+0.15 \times 3) \times 4+0.05 \times 3 \times 4+0.05 \times 0.5 \times \\ & 10+0.05 \times 3 \times 4+0.05 \times 1 \times 10+0.05 \times 3 \times 4+0.05 \times 1.5 \times 10=10.5 \end{aligned} $$
∴ 当 $\mathrm{w}=3$ 时，估计该市居民该月的人均水费为 10.5 元．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查当 $w=3$ 时，该市居民该月的人均水费的估计的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用。