2010 全国高考数学 2010_旧全国 I 卷 (2010·理) 第 9 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

9．（5分）已知 $F_{1} 、 F_{2}$ 为双曲线 $C: x^{2}-y^{2}=1$ 的左、右焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，$\angle F_{1} P F_{2}=6 0^{\circ}$ ，则 P 到 x 轴的距离为（ ）

Accepted Answer

B

【考点】HR：余弦定理； KA ：双曲线的定义； KC ：双曲线的性质． 【专题】11：计算题． 【分析】设点 $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}ight)$ 在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得 $$ \begin{aligned} & \left|P F_{1}ight|=e\left[x_{0}-\left(-\frac{a^{2}}{c}ight)ight]=a+e x_{0}=1+\sqrt{2} x_{0}, \ & \left.\left|P F_{2}ight|=e\left[x_{0}-\frac{a^{2}}{c}ight)ight]=e x_{0}-a=\sqrt{2} x_{0}-1 . 	ext { 由余弦定理得 } \cos \angle F_{1} P F_{2}= \ & \frac{\left|P F_{1}ight|^{2}+\left|P F_{2}ight|^{2}-\left|F_{1} F_{2}ight|^{2}}{2\left|P F_{1}ight|\left|P F_{2}ight|}, 	ext { 由此可求出 } P 	ext { 到 } x 	ext { 轴的距离. } \end{aligned} $$ 【解答】解：不妨设点 $P\left(x_{0}, y_{0}ight)$ 在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得 $$ \begin{aligned} & \left|P F_{1}ight|=e\left[x_{0}-\left(-\frac{a^{2}}{c}ight)ight]=a+e x_{0}=1+\sqrt{2} x_{0}, \ & \left.\left|P F_{2}ight|=e\left[x_{0}-\frac{a^{2}}{c}ight)ight]=e x_{0}-a=\sqrt{2} x_{0}-1 . \end{aligned} $$ 由余弦定理得 $\cos \angle F_{1} P F_{2}=\frac{\left|P F_{1}ight|^{2}+\left|P F_{2}ight|^{2}-\left|F_{1} F_{2}ight|^{2}}{2\left|P F_{1}ight|\left|P F_{2}ight|}$ ，即 $\cos 60^{\circ}=$ $$ \frac{\left(1+\sqrt{2} x_{0}ight)^{2}+\left(\sqrt{2} x_{0}-1ight)^{2}-(2 \sqrt{2})^{2}}{2\left(1+\sqrt{2} x…

2010 高考数学第 9 题答案解析

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